domingo, 8 de mayo de 2011

Rango de funciones compuestas: máximo entero y valor absoluto

El último mensaje recibido es una consulta de un estudiante de Lima-Perú, gracias al Canal AporteMath.

Materia: Matemática Básica
Tema: Funciones Reales de Variable Real
Universidad Inca Garcilazo de la Vega

Calcule la intersección del rango de las funciones: \[\begin{array}{lcl}
f(x)&=&\left[\kern-0.17em\left[ {x + 3} \right]\kern-0.17em\right] + \left[\kern-0.17em\left[ {1 - x}\right]\kern-0.17em\right] \\
g(x)&=&\left| {x + 3} \right| - \left| {1 - x} \right| \\
\end{array} \] 
Solución:
1º) Calculando el rango de \(f\quad\) [ \({\rm{ran}}(f)\) ]
Por propiedad Nº 9 del máximo entero se tiene: \[
\left[\kern-0.17em\left[{x + 3}\right]\kern-0.17em\right]=
\left[\kern-0.17em\left[{x}\right]\kern-0.17em\right]+3\] y \[
\left[\kern-0.17em\left[{1-x} \right]\kern-0.17em\right]=
1+\left[\kern-0.17em\left[{-x} \right]\kern-0.17em\right]\] como ejercicio para el lector, dejo que verifique que: \[\left[\kern-0.17em\left[x
\right]\kern-0.17em\right] + \left[\kern-0.17em\left[ { - x}
\right]\kern-0.17em\right] = - 1\;,\quad\forall x\in\mathbb{R}\] entonces, reemplazando estos resultados en \(f\) se tiene: \[ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}l}
f(x) &=& \left[\kern-0.17em\left[{x+3} \right]\kern-0.17em\right] &+& \left[\kern-0.17em\left[{1-x}\right]\kern-0.17em\right] \\
&=& \left(\left[\kern-0.17em\left[{x} \right]\kern-0.17em\right] + 3\right)&+& \left(1+\left[\kern-0.17em\left[{-x}\right]\kern-0.17em\right]\right) \\
&=&\left[\kern-0.17em\left[{x} \right]\kern-0.17em\right]&+& \left[\kern-0.17em\left[{-x}\right]\kern-0.17em\right]+4 \\
&=&-1&+&4\\
&=& &3&
\end{array} \] \(f\) tiene un valor constante e igual a 3 para toda \(x\) en \(\mathbb{R}\). Por tanto \[{\rm{ran}}(f)=\{3\}\]
2º) Calculando el \({\rm{ran}}(g)\)
Calculando los puntos críticos: \[ \begin{array}{rccl}
x + 3=0 & \wedge & 1 - x=0 \\
x =-3 & \wedge & x = 1 \\
\end{array} \] éstos puntos originan 3 intervalos en la recta real (casos 1º - 3º), en los que los términos \(\;\;\left| {1-x} \right|\;\;\) y \(\;\;\left| {x + 3} \right|\), que conforman \(g\), asumirán valores distintos: \[ \begin{array}{rccl}
            \rm{1º)} &   x < -3  & \rightarrow  & \left|{x + 3}\right|=-x-3 \quad  \rm{,} \\
                &                &              & \left|{x-1}\right|= -x+1 \\ 
            \rm{2º)} & -3\leq x <1  & \rightarrow  & \left|{x + 3}\right|=x+3 \quad \rm{,} \\
                     &                &            & \left|{x-1}\right|= -x+1 \\
            \rm{3º)} &    1 \leq x       & \rightarrow & \left|{x + 3}\right|=x+3 \quad \rm{,} \\
                     &                &             & \left|{x-1}\right|= x-1 \\
\end{array} \] nótese que: \(\left| {1 - x} \right|\) puede escribirse como \(\left| {x - 1} \right|\)
Restando los términos del lado derecho en cada caso se obtiene:

\[ \begin{array}{rccl}
            \rm{1º)} &   x<-3     & \rightarrow  & g(x)=(-x-3)-(-x+1)=-4 \\
            \rm{2º)} & -3\leq x <1  & \rightarrow  & g(x)=(x+3)-(-x+1)=2x+2 \\
            \rm{3º)} &    1 \leq x     & \rightarrow  & g(x)=(x+3)-(x-1)=4\\
\end{array} \] Es decir la función \(g\) es la función seccionada: \[g(x)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&,&{x < - 3} \\ {2x + 2}&,&{ - 3 \leq x <  1} \\ 4&,&{1 \leq x} \end{array}} \right.\] En la Segunda sección de esta función se observa que si \[ \begin{array}{rcl}
            & -3\leq x<1\\
\rightarrow & -6\leq 2x<2\\
\rightarrow & -4\leq 2x+2<4\\
\rightarrow & -4\leq g(x)<4\\
\rightarrow & g(x)\in\langle-4,4]
\end{array} \] En la primera sección se ve que \(g(x)=-4\) cuando \(x<-3\), luego \[g(x)\in[-4,4] \;,\quad \forall x\in\mathbb{R}\] es decir se ha deducido que el \[{\rm{ran}}(g)=[-4,4]\] Con el software maple, para graficar puede usarse la orden
> plot(abs(x+3)-abs(1-x)); 
(úsese solo para verificar, no para omitir el paso del desarrollo de l ejercicio)
Gráfica en maple de la función valor absoluto
compuesta \(g(x)=\left|{x+3}\right|-\left|{1-x}\right|\)
Finalmente, lo que nos solicitaba el ejercicio es: \[ \begin{array}{rcl}
{\rm{ran}}(f) \cap {\rm{ran}}(g) &=& [ - 4,4] \cap \{3\} \\
&=& \left\{ \,3 \right\} \\
\end{array} \]
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Bibliografía.
Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.

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