Rango de funciones compuestas: máximo entero y valor absoluto

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Materia: Matemática Básica
Tema: Funciones Reales de Variable Real
Universidad Inca Garcilazo de la Vega

Calcule la intersección del rango de las funciones: $$\begin{array}{lcl} f(x)&=&\left[\kern-0.17em\left[ {x + 3} \right]\kern-0.17em\right] + \left[\kern-0.17em\left[ {1 - x}\right]\kern-0.17em\right] \\ g(x)&=&\left| {x + 3} \right| - \left| {1 - x} \right| \\ \end{array}$$  Solución:
1º) Calculando el rango de $f\quad$ [ ${\rm{ran}}(f)$ ]
Por propiedad Nº 9 del máximo entero se tiene:  $$\left[\kern-0.17em\left[{x + 3}\right]\kern-0.17em\right]= \left[\kern-0.17em\left[{x}\right]\kern-0.17em\right]+3$$  y  $$\left[\kern-0.17em\left[{1-x} \right]\kern-0.17em\right]= 1+\left[\kern-0.17em\left[{-x} \right]\kern-0.17em\right]$$  como ejercicio para el lector, dejo que verifique que:  $$\left[\kern-0.17em\left[x \right]\kern-0.17em\right] + \left[\kern-0.17em\left[ { - x} \right]\kern-0.17em\right] = - 1\;,\quad\forall x\in\mathbb{R}$$  entonces, reemplazando estos resultados en $f$ se tiene:  $$\begin{array}{r@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}l} f(x) &=& \left[\kern-0.17em\left[{x+3} \right]\kern-0.17em\right] &+& \left[\kern-0.17em\left[{1-x}\right]\kern-0.17em\right] \\ &=& \left(\left[\kern-0.17em\left[{x} \right]\kern-0.17em\right] + 3\right)&+& \left(1+\left[\kern-0.17em\left[{-x}\right]\kern-0.17em\right]\right) \\ &=&\left[\kern-0.17em\left[{x} \right]\kern-0.17em\right]&+& \left[\kern-0.17em\left[{-x}\right]\kern-0.17em\right]+4 \\ &=&-1&+&4\\ &=& &3& \end{array}$$  $f$ tiene un valor constante e igual a 3 para toda $x$ en $\mathbb{R}$. Por tanto $${\rm{ran}}(f)=\{3\}$$

2º) Calculando el ${\rm{ran}}(g)$
Calculando los puntos críticos: $$\begin{array}{rccl} x + 3=0 & \wedge & 1 - x=0 \\ x =-3 & \wedge & x = 1 \\ \end{array}$$ éstos puntos originan 3 intervalos en la recta real (casos 1º - 3º), en los que los términos $\;\;\left| {1-x} \right|\;\;$ y $\;\;\left| {x + 3} \right|$, que conforman $g$, asumirán valores distintos:  $$\begin{array}{rccl}             \rm{1º)} &   x < -3  & \rightarrow  & \left|{x + 3}\right|=-x-3 \quad  \rm{,} \\                 &                &              & \left|{x-1}\right|= -x+1 \\              \rm{2º)} & -3\leq x <1  & \rightarrow  & \left|{x + 3}\right|=x+3 \quad \rm{,} \\                      &                &            & \left|{x-1}\right|= -x+1 \\             \rm{3º)} &    1 \leq x       & \rightarrow & \left|{x + 3}\right|=x+3 \quad \rm{,} \\                      &                &             & \left|{x-1}\right|= x-1 \\ \end{array}$$ nótese que: $\left| {1 - x} \right|$ puede escribirse como $\left| {x - 1} \right|$
Restando los términos del lado derecho en cada caso se obtiene:

$$\begin{array}{rccl}             \rm{1º)} &   x<-3     & \rightarrow  & g(x)=(-x-3)-(-x+1)=-4 \\             \rm{2º)} & -3\leq x <1  & \rightarrow  & g(x)=(x+3)-(-x+1)=2x+2 \\             \rm{3º)} &    1 \leq x     & \rightarrow  & g(x)=(x+3)-(x-1)=4\\ \end{array}$$ Es decir la función $g$ es la función seccionada: $$g(x)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&,&{x < - 3} \\ {2x + 2}&,&{ - 3 \leq x <  1} \\ 4&,&{1 \leq x} \end{array}} \right.$$ En la Segunda sección de esta función se observa que si  $$\begin{array}{rcl}             & -3\leq x<1\\ \rightarrow & -6\leq 2x<2\\ \rightarrow & -4\leq 2x+2<4\\ \rightarrow & -4\leq g(x)<4\\ \rightarrow & g(x)\in\langle-4,4] \end{array}$$  En la primera sección se ve que $g(x)=-4$ cuando $x<-3$, luego $$g(x)\in[-4,4] \;,\quad \forall x\in\mathbb{R}$$  es decir se ha deducido que el $${\rm{ran}}(g)=[-4,4]$$ Con el software maple, para graficar puede usarse la orden
> plot(abs(x+3)-abs(1-x)); 
(úsese solo para verificar, no para omitir el paso del desarrollo de l ejercicio)

Gráfica en maple de la función valor absoluto
compuesta $g(x)=\left|{x+3}\right|-\left|{1-x}\right|$

Finalmente, lo que nos solicitaba el ejercicio es:  $$\begin{array}{rcl} {\rm{ran}}(f) \cap {\rm{ran}}(g) &=& [ - 4,4] \cap \{3\} \\ &=& \left\{ \,3 \right\} \\ \end{array}$$

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con Máximo Entero

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Bibliografía.

Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.