La Función Signo de un Número Real [ y = sgn(x) ]

La función signo de un número real \(x\) es una función de valor real cuya regla de correspondencia viene dada por: \[\operatorname{sgn} (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&,&{{\text{si}}}&{x > 0} \\
  0&,&{{\text{si}}}&{x = 0} \\
  { - 1}&,&{{\text{si}}}&{x < 0}
\end{array}} \right.\] su gráfica es la de una función de dos escalones con un salto en \(x=0\)

\(\operatorname{sgn}(x)\) se lee: signo del número real \(\boldsymbol{x}\)

También puede expresarse de la forma: \[f = \left\{ {(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\;|\;y = \operatorname{sgn} (x)} \right\}\] donde su dominio y rango son respectivamente: \[\begin{gathered}
  {\text{Dom}}(f) = \mathbb{R} \\
  {\text{Ran}}(f) = \{-1,0,1\}  \\
\end{gathered} \] Existen situaciones en que se debe hallar el dominio y gráfico de funciones signo compuestas por funciones algebraicas o funciones elementales como veremos en el desarrollo del siguiente ejercicio:
Trazar el gráfico de la función \[\boldsymbol{f(x) = \operatorname{sgn} \left( {|{x^2}-1|-1} \right)}\] Solución
Primera forma

Por definición de función signo: \[\operatorname{sgn} \left( {|{x^2}-1| -1} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&,&{\left| {{x^2} -1}\right| -1 >0\,\,\,...\,\,\,(1)} \\
  0&,&{\left| {{x^2} -1}\right| -1 = \,0\,\,\,...\,\,(2)} \\
  { -1}&,&{\left| {{x^2} - 1}\right| -1<0\,\,\,...\,\,(3)}
\end{array}} \right.\] Analizando las tres condiciones:
En la condición (1) se tiene: \[\begin{gathered}
  \left|{{x^2} - 1} \right| > 1 \\
  {x^2}-1 > 1 \quad \vee\quad {x^2} -1< -1 \\
{x^2} > 2 \quad \vee\quad {x^2} < 0\\
{x^2} - 2 > 0 \\
(x + \sqrt 2 )(x - \sqrt 2 ) > 0\\
\end{gathered} \] por el método de puntos críticos

Se elige los intervalos (+) porque la inecuación dice: \(>0\)

así la condición (1) es: \[x\in\left\langle { - \infty , - \sqrt 2 } \right\rangle  \cup \left\langle {\sqrt 2 ,\infty } \right\rangle\] En la condición (2) se tiene: \[\begin{gathered}
  \left| {{x^2} - 1} \right| = \,1 \\
  {x^2} - 1 = \,1\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,{x^2} - 1 = \, - 1 \\
  {x^2} = \,2\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \,0 \\
  x =  \pm \,\sqrt{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \,0 \\
\end{gathered} \]
así la condición (2) es: \[x \in \left\{ { - \sqrt 2 \;,\;0\;,\;\sqrt 2 } \right\}\]
En la condición (3) se tiene: \[\begin{gathered}
  \left| {{x^2} - 1} \right| < 1 \\
   - 1 < {x^2} - 1 < 1 \\
   0 < {x^2} < 2 \\
   0 < {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} < 2 \\
   \left[ {x < 0 \vee x > 0} \right]\quad \wedge \quad \left[ {{x^2} - 2 < 0} \right]\\ \left[ {x < 0 \vee x > 0} \right] \wedge \left[ {\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right) < 0} \right] \\
\end{gathered} \]

Se elige el intervalo (-) porque la inecuación tiene: \(<0\)
luego se intersecta con \(x<0\) y \(x>0\) 

entonces la condición (3) es: \[x \in \left\langle { - \sqrt 2 {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} ,\,\,0{\kern 1pt} } \right\rangle  \cup \left\langle {0\,\,,\sqrt 2 } \right\rangle \] Ahora de lo hallado de (1), (2) y (3) la función \(f(x)\) está dada por: \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&,&{x \in \left\langle { - \infty , - \sqrt 2 } \right\rangle  \cup \left\langle {\sqrt 2 ,\infty } \right\rangle } \\
  0&,&{x \in \left\{ { - \sqrt 2 \,\,,0\,,\sqrt 2 } \right\}} \\
  { - 1}&,&{x \in \left\langle { - \sqrt 2 ,0} \right\rangle  \cup \left\langle {0,\sqrt 2 } \right\rangle }
\end{array}} \right.\] Finalmente con los intervalos hallados en las 3 condiciones se construye el gráfico de \(f(x)\)

Segunda forma

Este problema también puede resolverse mediante una forma gráfica.
En efecto, con los criterios para gráficos de la función cuadrática y valor absoluto partimos graficando \(y = \left| {{x^2} - 1} \right|\) está representada por:

al restarle 1 al valor de esta función su gráfica se desplaza una unidad hacia abajo

proyectando el gráfico de esta función sobre el eje x, vemos claramente las partes negativas (en rojo) y las partes positivas (azul) y los puntos críticos (o ceros) (en naranja), lo que nos ayuda a ver cual será el gráfico de \(f(x)\) de acuerdo a la definición de función signo. En otras palabras se ha encontrado las 3 condiciones anteriormente calculadas.

Entonces el gráfico de la función \(f(x)\) es:

Bibliografía:
Espinoza Ramos E, Matemática Básica. Editorial Serv. Graf. J.J. Lima - Perú. 2002.
Figueroa García R, Matemática Basica. Editorial América.  Lima - Perú. 1992.

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