Números Reales - Ecuaciones Irracionales o ecuaciones con radicales (√a = b)

Esta vez observamos como resolver una ecuación sobre los números reales que contiene un término irracional (radical irreductible), esto implica el conocimiento de las inecuaciones y el de las ecuaciones cuadráticas, así como la formula del cuadrado de un trinomio en los productos notables. Más adelante colgaré las propiedades usadas en este problema.

Detalles del problema.
Institución: USAT. Chiclayo - Perú
Especialidad: Arquitectura.
Asignatura: Matemática para Ingenieros II
Tipo: Pregunta de Práctica calificada

Resolver la ecuación $$\boldsymbol{{x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=0}$$ Solución.
$${x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=0$$  Para que exista $\sqrt {x^2 + 6x}$ , la parte subradical tendrá que ser mayor o igual que cero  $$0\leq {x}^{2}+6\,x$$  factorizando y hallando puntos críticos:
$$0\leq x \left( x+6 \right)$$  El conjunto universo de la ecuación es: $$U=\left\langle { - \infty ,-6} \right\rangle  \cup \left\langle {0,\infty } \right\rangle$$  Despejando el término radical:  $$2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=-{x}^{2}-6\,x+24$$  Elevando al cuadrado, se cancela el radical en el lado izquierdo:  $$4\,{x}^{2}+24\,x= \left( -{x}^{2}-6\,x+24 \right) ^{2}$$  y se desarrolla el trinomio en el lado derecho:  $$4\,{x}^{2}+24\,x={x}^{4}+12\,{x}^{3}-12\,{x}^{2}-288\,x+576$$  Si pasamos el lado derecho al lado izquierdo y multiplicamos por -1 se tiene, ordenando el polinomio:  $${x}^{4}+12\,{x}^{3}-16\,{x}^{2}-312\,x+576=0$$  Si factorizamos el polinomio del lado izquierdo por el método Paolo Ruffini, se tendrá:
$$\left( x-2 \right)  \left( x+8 \right)  \left( {x}^{2}+6\,x-36 \right) =0$$  el lector puede comprobarlo en lápiz y papel que el polinomio se puede factorizar de ese modo por dicho método.

Igualando a cero cada factor vemos que:  $$x = 8\,\quad \vee \,\quad\,x =  - 2\,\quad \vee \,\quad x =  - 3 + \sqrt 5 \,\quad \vee \,\quad x =  - 3 - \sqrt 5$$  pero el único valor de $x$ que están el universo $U=\left\langle { - \infty ,-6} \right\rangle  \cup \left\langle {0,\infty } \right\rangle$ es $$x = 8$$  luego el conjunto solución es: $$CS = \left\{ {8} \right\}$$ En maple puede comprobarse graficando la función del lado izquierdo de la ecuación. Las raíces de dicha ecuación señalarán la ubicación de los puntos de corte de f con el eje x , la instrucción es:
> a1:=x^2+6*x-24+2*sqrt(x^2+6*x):
> plot(a1,x=-14..10,y=-28..100, thickness=2,color=magenta);

Gráfica de las raíces de
$y={x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}$

Bibliografía:
Espinoza Ramos E, Matemática Básica. Editorial Serv. Graf. J.J. Lima - Perú. 2002.
Figueroa García R, Matemática Basica. Editorial América.  Lima - Perú. 1992.