Propiedades del Máximo entero o Mayor Entero [[x]]

Enumero aquí los teoremas más escenciales el operador máximo entero de un número real \(x\). El cual está definido por \[\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[x \right]\kern-0.17em\right] = n\qquad \leftrightarrow \qquad n = \text{máx} \left\{ {m \in {\Bbb Z}\;|\; m \leq x} \right\}}\]

Propiedades

1.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[{ x }\right]\kern-0.17em\right]\in\mathbb{Z}\,,\quad \forall x\in\mathbb{R}}\)

2.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[{ x }\right]\kern-0.17em\right]=x\quad \leftrightarrow \quad x\in\mathbb{Z}}\)

3.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] \le x < \left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] + 1\,,\quad\forall x \in \mathbb{R}}\)

5.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] = n \quad\leftrightarrow\quad n \leq x \leqslant n + 1\;,\quad n \in \mathbb{Z}}\)

6.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] \geq a \quad\leftrightarrow\quad x \geqslant a}\)

7.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] < a \quad\leftrightarrow\quad x < a}\)

8.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] \leq a\quad \leftrightarrow\quad x < a + 1}\)

9.   Si \(\boldsymbol{m \in \mathbb{Z}\quad\to\quad\left[\kern-0.17em\left[ {x + m}
 \right]\kern-0.17em\right] = \left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] + m}\)

10.  \(\boldsymbol{\forall\;x,y\in\mathbb{R}},\)    Si  \(\boldsymbol{x\leq y\quad\to\quad\left[\kern-0.17em\left[ x \right]\kern-0.17em\right] \leq \left[\kern-0.17em\left[ y \right]\kern-0.17em\right]}\)

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Bibliografía.
Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.