Ecuaciones cuadráticas de 2 variables - Graficando un Hiperbolide

Ahora enfocamos nuestra atención al cálculo multivariable. El criterio para graficar ecuaciones cuadráticas es esencial para el cálculo de integrales dobles y triples a la hora de determinar los dominios de integración y el integrando. Damos aquí una de las superficies obtenidas por una ecuación cuadrática. El Hiperboloide de dos hojas.

Datos del ejercicio
Area: Cálculo
Especialidad: Ingeniería Civil
Asignatura: Matemática para Ingenieros II
Tipo: Practica Calificada
Institución: USAT - Chiclayo Perú

Graficar la superficie: ${x}^{2}-{y}^{2}+3\,{z}^{2}-2\,y=0$, indicando sus
secciones transversales solo para dos valores de $k$ en cada plano coordenado, y la intersección con los ejes coordenados.

Solución.
$${x}^{2}-{y}^{2}+3\,{z}^{2}-2\,y=0$$  Agrupando la variable $y$ y completando sus cuadrados:
$${x}^{2}- \left( y+1 \right) ^{2}+3\,{z}^{2}+1=0$$  entonces, despejando la unidad:  $$-{x}^{2}+\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=1$$  esto puede expresarse:  $$- {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} {z^2}}}{{\frac{1}{3}}} = 1$$   $$- {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} z^2}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)}^2}}} = 1\quad\ldots\,(1)$$ Esta ecuación tiene corresponde a la gráfica de un hiperboloide de dos hojas (por tener 2 términos negativos) que se extiende a lo largo del eje de la variable corrspondiente a $(y+1)^2$, por ser éste un término positivo, luego el hiperboloide se extiende a lo largo de y. Además como ésta ecuación puede escribirse:
$$- {(x - 0)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} {{(z - 0)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)}^2}}} = 1$$  entonces el centro del hiperboloide es $(0,-1,0)$
Entonces, el gráfico solicitado es:

Gráfica del hiperboloide
$\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1$

Graficando ahora las secciones transversales

1) Plano $xy$:
valor: $k=0$ $\to$ $z=0$,  $$\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1$$   $$\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}=1$$  hipérbola en el plano $xy$

valor: $k=-1$ $\to$ $z=-1$,  $$\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3=1$$   $$\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}=4$$  hipérbola en el plano $xy$

Graficando:

Sección transversal del
hiperboloide de dos hojas
para $x=0\,,\,x=-1.$
en el plano $xy$

2) Plano $xz$:
valor: $k=0$ $\to$ $y=0$,  $$\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1$$   $$1-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1$$
$${x}^{2}+3\,{z}^{2}=0$$  elipse degradada al punto $(0,0)$, en el plano $xz$

valor: $k=-3$ $\to$ $y=-3$,  $$4-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1$$   $${x}^{2}+3\,{z}^{2}=3$$  elipse en el plano $xy$

valor: $k=-4$ $\to$ $y=-4$,  $$9-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1$$   $${x}^{2}+3\,{z}^{2}=8$$  elipse en el plano $xz$. Vemos que el hiperboloide de dos hojas es elíptico.

Sección transversal del
hiperboloide elíptico de dos hojas
para $y=0\,,\,y=-3\,,\,y=-4.$
en el plano $xz$

3) Plano $yz$:
valor: $k=0$ $\to$ $x=0$,  $$\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1$$   $$\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=1$$  hipérbola en el plano $yz$

valor: $k=1$ $\to$ $x=1$,  $$\left( y+1 \right) ^{2}-1-3\,{z}^{2}=1$$   $$\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=2$$   hipérbola en el plano $yz.$

Sección transversal del
hiperboloide elíptico para $x=0\,,\,x=1.$
en el plano $yz$

Comprobación
En una hoja de cálculo Maple podemos escribir la orden
> with(plots):
> implicitplot3d((y+1)^2-x^2-3*z^2 = 1,x=-7..7,y=-6..6,z=-5..5, numpoints=10000);
y así coprobar la validés del resultado obtenido

Graficando el hiperboloide de 2 hojas
$\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1$
en maple con el comando implicitplo3d
de la librería plots

Bibliografía
1. Stewart, James. 2008. Calculus Early Trascendentals. 6th ed. Belmont, CA. USA : Thomson Learning Inc, 2008. pág. 808 de 1336 pp. ISBN 0-495-01166-5.