¿Cómo demuestro: √(│y-x│) ≥ │√y-√x│ ?

Dirigiéndonos a la teoría de los números reales, a petición de uno de mis lectores de Sincelejo Colombia, desmostraré la desigualdad:  $$\sqrt {\left| {y - x} \right|}  \geqslant \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|$$ para todo $x,y \in \mathbb{R}_0^{+}$

Enumeraré cada paso para dejar lugar a los comentarios, si es que hay algo que no se entienda, fácilmente se podrá ubicar la parte con el número de paso correspondiente.

Además la dividiré en 2 partes. En la primera, transformo la desigualdad en otra equivalente a través de una serie de pasos válidos en los teoremas de números reales. En la segunda efectuaré la demostración formal de la desigualdad equivalente.

Empezamos:

Obsérvese que la igualdad $\sqrt {\left| {y - x} \right|}  = \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|$  solo se satisface para $x = 0\,\,\,,\,\,\,\,y = 0$ así que solo se trabajará con la desigualdad estricta:  $$\sqrt {\left| {y - x} \right|}  > \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\quad\ldots(1)$$  Parte I: 
1. Elevando al cuadrado  $$\begin{gathered}   {\sqrt {\left| {y - x} \right|} ^2} > {\left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|^2}\\   \left| {y - x} \right| > {\left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|^2}\\   \left| {y - x} \right| > {\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)^2}\\ \end{gathered}$$  2. Multiplicando por ${\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}$ a cada lado de la desigualdad  $$\begin{array}{rcl}   \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>&{\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)^2}{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} \\   \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>&{\left[ {\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)} \right]^2} \\   \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left( {{{\sqrt y }^2} - {{\sqrt x }^2}} \right)^2}\\   \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left( {y - x} \right)^2}\\   \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left| {y - x} \right|^2}\\ \end{array}$$ 3. Cancelando el factor $\left| {y - x} \right|$  $${\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} > \left| {y - x} \right|$$ 4. Esta desigualdad la podemos escribir con el símbolo de menor que cambiando de lado sus miembros  $$\left| {y - x} \right| < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}$$ 5. Recordemos la propiedad $\left| x \right| < b \Leftrightarrow  - b < x < b$, en donde podemos considerar $b = \scriptstyle{{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}}$, entonces:  $$- {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}.$$  Parte II
1. Acabamos de transformar la desigualdad inicial (1) en:  $$- {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}$$ que es la intersección de  $$- {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x\quad\ldots(2)$$ con $$y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\quad\ldots(3)$$  2. Para demostrar la desigualdad (2) tenemos: $$\begin{array}{lcl} - {\left({\sqrt y +\sqrt x } \right)^2} &=& - \left( {y + 2\sqrt {xy} + x} \right) \\ &<& - \left( {y + x} \right) \\ &=& - y - x \\ &<& - y + x\\ &=& - y + x\\ \end{array}$$  3. Uniendo los extremos se ve claramente que $$- {\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)^2} < y - x$$ Dejo como ejercicio al lector la demostración de la desigualdad (3).

Habiendo demostrado las desigualdades estrictas (2) y (3), y la igualdad con $x = 0\; , \quad y = 0$ puede afirmarse que se cumple $${\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)^2} > \left| {y - x} \right|$$ $$\forall\; x,y \in {\mathbb{R}^+}$$ entonces multiplicando esta última desigualdad por $\left| {y - x} \right|$ y realizando el proceso visto en el paso 2 y paso 1 de la parte I de forma inversa, quedará demostrado que: $$\sqrt {\left| {y - x} \right|} \geqslant \left| {\sqrt y - \sqrt x } \right|$$ $$\forall\; x,y \in \mathbb{R}_0^{+}$$ l.q.q.d.