Aplicación de la Función exponencial \({\rm a}^x\) o \({\rm e}^x\)

La función exponencial se produce con mucha frecuencia en los modelos matemáticos de la naturaleza y de la sociedad. Aquí se indicará brevemente cómo surge en la descripción del crecimiento de poblaciones.

Propagación de Bacterias
Considere una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Suponga que haciendo un  muestreo de la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el instante $t$ es \(p(t)\), donde \(t\) se mide en horas, y la población inicial es \(p(0)=1000\) habitantes, entonces tenemos: \[\begin{gathered} p(1) = 2p(0) = 2 \times 1000\\
p(2) = 2p(1) = 2^2 \times 1000\\
p(3) = 2p(2) = 2^3 \times 1000\\
\end{gathered} \] Con base en este patrón, en general se cumple \[p(t) = {2^t} \times 1000 = (1000){2^t}\] Esta función de población es un múltiplo escalar de la función exponencial \(y=2^x\) (cambie \(x\) por \(t\) ), entonces posee un rápido crecimiento, tal como se puede apreciar en su respectiva gráfica:

La función \(y=2^x\) crece incluso más rápido
que la fucnión \(y=x^2\) cuando \(x>0\)

En condiciones ideales (espacio y nutrición ilimitados con ausencia de enfermedad), este crecimiento exponencial es típico de lo que realmente ocurre en la naturaleza.

Población Humana Mundial
La siguiente tabla muestra los datos de la población  mundial en el siglo XX y en la figura siguiente se muestra el diagrama de dispersión correspondiente. \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{|c}}
{{\text{Año}}}&\begin{gathered}
{\text{Población}}\\
{\text{(millones)}}\\
\end{gathered} \\ \hline
{{\text{1900}}}&{{\text{1650}}} \\
{{\text{1910}}}&{{\text{1750}}} \\
{{\text{1920}}}&{{\text{1860}}} \\
{{\text{1930}}}&{{\text{2070}}} \\
{{\text{1940 }}}&{{\text{2300}}} \\
{{\text{1950 }}}&{{\text{2560}}} \\
{{\text{1960 }}}&{{\text{3040}}} \\
{{\text{1970 }}}&{{\text{3710}}} \\
{{\text{1980 }}}&{{\text{4450}}} \\
{{\text{1990 }}}&{{\text{5280}}} \\
{{\text{2000}}}&{{\text{6080}}}
\end{array}} \\
{{\text{Población humana mundial}}}
\end{array}\]

Dispersión para el crecimiento de la población mundial

Si ponemos los datos de la tabla en una hoja de Excel podemos encontrar fácilmente la función exponencial que se ajusta a los datos, con la finalidad de obtener interpolaciones (valores intermedios) y extrapolaciones (valores externos) necesarias para una predicción bien aproximada de la población en los años siguientes.

Obtenido con Excel 2007,
herramienta inserción de gráficos -> dispersión -> línea de tendencia 

Excel usó el método de mínimos cuadrados para encontrar la función que ajusta a los datos (en excel es llamada línea de tendencia) la cual viene a ser: \(y={\text{(8}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{ - 9}}}}{\text{)}}{{\text{e}}^{0.0136x}}.\) Interpretando el resultado:

La población mundial en el año \(t\) es: \[{\text{p(t) = (8}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{ - 9}}}}{\text{)}}{{\text{e}}^{0.0136t}}\;\;\text{millones de habitantes}\]

El modelo exponencial de crecimiento de población mundial en el año \(t\)

Bibliografía
1. Stewart, James. 2008. Calculus Early Trascendentals. 6th ed. Belmont, CA. USA : Thomson Learning Inc, 2008. pág. 18 de 1336 pp. ISBN 0-495-01166-5.