sábado, 23 de abril de 2011

Aplicación de la Función exponencial \({\rm a}^x\) o \({\rm e}^x\)

La función exponencial se produce con mucha frecuencia en los modelos matemáticos de la naturaleza y de la sociedad. Aquí se indicará brevemente cómo surge en la descripción del crecimiento de poblaciones.

Propagación de Bacterias
Considere una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Suponga que haciendo un  muestreo de la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el instante \(t\) es \(p(t)\), donde \(t\) se mide en horas, y la población inicial es \(p(0)=1000\) habitantes, entonces tenemos: \[\begin{gathered} p(1) = 2p(0) = 2 \times 1000\\
p(2) = 2p(1) = 2^2 \times 1000\\
p(3) = 2p(2) = 2^3 \times 1000\\
\end{gathered} \] Con base en este patrón, en general se cumple \[p(t) = {2^t} \times 1000 = (1000){2^t}\] Esta función de población es un múltiplo escalar de la función exponencial \(y=2^x\) (cambie \(x\) por \(t\) ), entonces posee un rápido crecimiento, tal como se puede apreciar en su respectiva gráfica:
La función \(y=2^x\) crece incluso más rápido
que la fucnión \(y=x^2\) cuando \(x>0\)
En condiciones ideales (espacio y nutrición ilimitados con ausencia de enfermedad), este crecimiento exponencial es típico de lo que realmente ocurre en la naturaleza.

Población Humana Mundial
La siguiente tabla muestra los datos de la población  mundial en el siglo XX y en la figura siguiente se muestra el diagrama de dispersión correspondiente. \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{|c}}
{{\text{Año}}}&\begin{gathered}
{\text{Población}}\\
{\text{(millones)}}\\
\end{gathered} \\ \hline
{{\text{1900}}}&{{\text{1650}}} \\
{{\text{1910}}}&{{\text{1750}}} \\
{{\text{1920}}}&{{\text{1860}}} \\
{{\text{1930}}}&{{\text{2070}}} \\
{{\text{1940 }}}&{{\text{2300}}} \\
{{\text{1950 }}}&{{\text{2560}}} \\
{{\text{1960 }}}&{{\text{3040}}} \\
{{\text{1970 }}}&{{\text{3710}}} \\
{{\text{1980 }}}&{{\text{4450}}} \\
{{\text{1990 }}}&{{\text{5280}}} \\
{{\text{2000}}}&{{\text{6080}}}
\end{array}} \\
{{\text{Población humana mundial}}}
\end{array}\]
Dispersión para el crecimiento de la población mundial
Si ponemos los datos de la tabla en una hoja de Excel podemos encontrar fácilmente la función exponencial que se ajusta a los datos, con la finalidad de obtener interpolaciones (valores intermedios) y extrapolaciones (valores externos) necesarias para una predicción bien aproximada de la población en los años siguientes.
Obtenido con Excel 2007,
herramienta inserción de gráficos -> dispersión -> línea de tendencia 
Excel usó el método de mínimos cuadrados para encontrar la función que ajusta a los datos (en excel es llamada línea de tendencia) la cual viene a ser: \(y={\text{(8}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{ - 9}}}}{\text{)}}{{\text{e}}^{0.0136x}}.\) Interpretando el resultado:

La población mundial en el año \(t\) es: \[{\text{p(t) = (8}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{ - 9}}}}{\text{)}}{{\text{e}}^{0.0136t}}\;\;\text{millones de habitantes}\]
El modelo exponencial de crecimiento de población mundial en el año \(t\)
Bibliografía
1. Stewart, James. 2008. Calculus Early Trascendentals. 6th ed. Belmont, CA. USA : Thomson Learning Inc, 2008. pág. 18 de 1336 pp. ISBN 0-495-01166-5.

12 comentarios:

  1. grasias sigan adelantee mil grasiassss

    ResponderEliminar
  2. Hmm is anyone else having problems with the pictures on this
    blog loading? I'm trying to find out if its a problem on my end or if it's
    the blog. Any feedback would be greatly appreciated.


    Also visit my web site ... pilgrim jewellery uk online

    ResponderEliminar
  3. For gain 7 download. many thanks.

    Also visit my website: financialrounds.blogspot.com

    ResponderEliminar
  4. Apologies if the chart is unclear. It's new and your feedback is cherished. Printing here is self-service and indicated to offer designers a hands-on, reduced cost choice. Developers have to sign up for among the membership intends before printing. If you're aiming
    to deliver files and have your job printed
    for you, I can easily suggest print shops in Divine superintendence that can do this.


    Feel free to visit my web blog :: xerox phaser 8560dn

    ResponderEliminar
  5. Hey this is kind of of off topic but I was wanting to
    know if blogs use WYSIWYG editors or if you have to manually code with
    HTML. I'm starting a blog soon but have no coding knowledge so I wanted to get guidance from someone with experience. Any help would be greatly appreciated!

    My web-site; hultquist

    ResponderEliminar
  6. Good day,
    I am looking to print brochures in color
    and was speculating exactly how it would certainly be for 200.

    I am a bit puzzled with the frame above, a friend of mine deliver it
    to me and I was wondering if you wish deliver me more
    details on content costs and all that you do.
    Sev.



    Review my blog; xerox phaser 8560 ld

    ResponderEliminar
  7. This could seem like a ridiculous factor, but you are dealing with a full ignoramous (me!
    ) in these issues. Do I recognize properly that a printer drum
    is an alternative to a toner cartridge however with very much higher return?
    This does not seem to be explicit in your short article if it is the case.

    Please shed light on.
    Kind regardsJim. Paper Jams Paper jams is among a lot of typical complication which conflicts.
    A paper jam can easily occur because of variety of explanations.


    Feel free to visit my web site Http://Rekhasrivatsan.Wordpress.com

    ResponderEliminar
  8. Tanks for sharing HP Laser Jet 1010 Driver, I actually need it.


    Feel free to visit my webpage - xerox phaser 8560 color Printer

    ResponderEliminar
  9. I am now not positive where you're getting your info, but good topic. I needs to spend a while finding out much more or figuring out more. Thank you for excellent info I used to be looking for this info for my mission.

    Look at my webpage :: hultquist

    ResponderEliminar
  10. Thank you for the good writeup. It actually used to be
    a enjoyment account it. Look complicated to far brought
    agreeable from you! However, how could we communicate?

    Check out my blog post: xerox 8560 ram error

    ResponderEliminar
  11. we wish samsung laser printer vehicle driver.

    Feel free to surf to my webpage xerox phaser 8560 ink sticks

    ResponderEliminar
  12. hey JOJO kindly deliver me a video on ways to make pcb making use
    of laser printer and ferric chloride.

    Have a look at my web page xerox phaser 8560mfp

    ResponderEliminar

Haznos saber tu opinión. Tus comentarios nos ayudan a continuar y mejorar el mejorar el contenido de este sitio. No use palabras inadecuadas al comentar o lo bloquearemos.