Números Reales - Ecuaciones Irracionales o ecuaciones con radicales (√a = b)

Esta vez observamos como resolver una ecuación sobre los números reales que contiene un término irracional (radical irreductible), esto implica el conocimiento de las inecuaciones y el de las ecuaciones cuadráticas, así como la formula del cuadrado de un trinomio en los productos notables. Más adelante colgaré las propiedades usadas en este problema.

Detalles del problema.
Institución: USAT. Chiclayo - Perú
Especialidad: Arquitectura.
Asignatura: Matemática para Ingenieros II
Tipo: Pregunta de Práctica calificada

Resolver la ecuación \[\boldsymbol{{x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=0}\]Solución.
\[{x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=0\] Para que exista \(\sqrt {x^2 + 6x}\) , la parte subradical tendrá que ser mayor o igual que cero \[0\leq {x}^{2}+6\,x\] factorizando y hallando puntos críticos:
\[0\leq x \left( x+6 \right)\] El conjunto universo de la ecuación es: \[U=\left\langle { - \infty ,-6} \right\rangle  \cup \left\langle {0,\infty } \right\rangle \] Despejando el término radical: \[2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=-{x}^{2}-6\,x+24\] Elevando al cuadrado, se cancela el radical en el lado izquierdo: \[4\,{x}^{2}+24\,x= \left( -{x}^{2}-6\,x+24 \right) ^{2}\] y se desarrolla el trinomio en el lado derecho: \[4\,{x}^{2}+24\,x={x}^{4}+12\,{x}^{3}-12\,{x}^{2}-288\,x+576\] Si pasamos el lado derecho al lado izquierdo y multiplicamos por -1 se tiene, ordenando el polinomio: \[{x}^{4}+12\,{x}^{3}-16\,{x}^{2}-312\,x+576=0\] Si factorizamos el polinomio del lado izquierdo por el método Paolo Ruffini, se tendrá:
\[\left( x-2 \right)  \left( x+8 \right)  \left( {x}^{2}+6\,x-36 \right) =0\] el lector puede comprobarlo en lápiz y papel que el polinomio se puede factorizar de ese modo por dicho método.

Igualando a cero cada factor vemos que: \[x = 8\,\quad \vee \,\quad\,x =  - 2\,\quad \vee \,\quad x =  - 3 + \sqrt 5 \,\quad \vee \,\quad x =  - 3 - \sqrt 5 \] pero el único valor de \(x\) que están el universo \(U=\left\langle { - \infty ,-6} \right\rangle  \cup \left\langle {0,\infty } \right\rangle \) es \[x = 8\] luego el conjunto solución es: \[CS = \left\{ {8} \right\}\]En maple puede comprobarse graficando la función del lado izquierdo de la ecuación. Las raíces de dicha ecuación señalarán la ubicación de los puntos de corte de f con el eje x , la instrucción es:
> a1:=x^2+6*x-24+2*sqrt(x^2+6*x):
> plot(a1,x=-14..10,y=-28..100, thickness=2,color=magenta);

Gráfica de las raíces de
\(y={x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}\)

Bibliografía:
Espinoza Ramos E, Matemática Básica. Editorial Serv. Graf. J.J. Lima - Perú. 2002.
Figueroa García R, Matemática Basica. Editorial América.  Lima - Perú. 1992.

Ecuaciones cuadráticas de 2 variables - Graficando un Hiperbolide

Ahora enfocamos nuestra atención al cálculo multivariable. El criterio para graficar ecuaciones cuadráticas es esencial para el cálculo de integrales dobles y triples a la hora de determinar los dominios de integración y el integrando. Damos aquí una de las superficies obtenidas por una ecuación cuadrática. El Hiperboloide de dos hojas.

Datos del ejercicio
Area: Cálculo
Especialidad: Ingeniería Civil
Asignatura: Matemática para Ingenieros II
Tipo: Practica Calificada
Institución: USAT - Chiclayo Perú

Graficar la superficie: \({x}^{2}-{y}^{2}+3\,{z}^{2}-2\,y=0\), indicando sus
secciones transversales solo para dos valores de \(k\) en cada plano coordenado, y la intersección con los ejes coordenados.

Solución.
\[{x}^{2}-{y}^{2}+3\,{z}^{2}-2\,y=0\] Agrupando la variable \(y\) y completando sus cuadrados:
\[{x}^{2}- \left( y+1 \right) ^{2}+3\,{z}^{2}+1=0\] entonces, despejando la unidad: \[-{x}^{2}+\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=1\] esto puede expresarse: \[ - {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} {z^2}}}{{\frac{1}{3}}} = 1\] \[ - {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} z^2}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)}^2}}} = 1\quad\ldots\,(1)\]Esta ecuación tiene corresponde a la gráfica de un hiperboloide de dos hojas (por tener 2 términos negativos) que se extiende a lo largo del eje de la variable corrspondiente a \((y+1)^2\), por ser éste un término positivo, luego el hiperboloide se extiende a lo largo de y. Además como ésta ecuación puede escribirse:
\[ - {(x - 0)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} {{(z - 0)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)}^2}}} = 1\] entonces el centro del hiperboloide es \((0,-1,0)\)
Entonces, el gráfico solicitado es:

Gráfica del hiperboloide
\(\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\)

Graficando ahora las secciones transversales

1) Plano \(xy\):
valor: \(k=0\) \(\to\) \(z=0\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}=1\] hipérbola en el plano \(xy\)

valor: \(k=-1\) \(\to\) \(z=-1\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3=1\] \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}=4\] hipérbola en el plano \(xy\)

Graficando:

Sección transversal del
hiperboloide de dos hojas
para \(x=0\,,\,x=-1.\)
en el plano \(xy\)

2) Plano \(xz\):
valor: \(k=0\) \(\to\) \(y=0\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[1-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\]
\[{x}^{2}+3\,{z}^{2}=0\] elipse degradada al punto \((0,0)\), en el plano \(xz\)

valor: \(k=-3\) \(\to\) \(y=-3\), \[4-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[{x}^{2}+3\,{z}^{2}=3\] elipse en el plano \(xy\)

valor: \(k=-4\) \(\to\) \(y=-4\), \[9-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[{x}^{2}+3\,{z}^{2}=8\] elipse en el plano \(xz\). Vemos que el hiperboloide de dos hojas es elíptico.

Sección transversal del
hiperboloide elíptico de dos hojas
para \(y=0\,,\,y=-3\,,\,y=-4.\)
en el plano \(xz\)

3) Plano \(yz\):
valor: \(k=0\) \(\to\) \(x=0\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=1\] hipérbola en el plano \(yz\)

valor: \(k=1\) \(\to\) \(x=1\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-1-3\,{z}^{2}=1\] \[\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=2\]  hipérbola en el plano \(yz.\)

Sección transversal del
hiperboloide elíptico para \(x=0\,,\,x=1.\)
en el plano \(yz\)

Comprobación
En una hoja de cálculo Maple podemos escribir la orden
> with(plots):
> implicitplot3d((y+1)^2-x^2-3*z^2 = 1,x=-7..7,y=-6..6,z=-5..5, numpoints=10000);
y así coprobar la validés del resultado obtenido

Graficando el hiperboloide de 2 hojas
\(\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\)
en maple con el comando implicitplo3d
de la librería plots

Bibliografía
1. Stewart, James. 2008. Calculus Early Trascendentals. 6th ed. Belmont, CA. USA : Thomson Learning Inc, 2008. pág. 808 de 1336 pp. ISBN 0-495-01166-5.

Propiedades del Máximo entero o Mayor Entero [[x]]

Enumero aquí los teoremas más escenciales el operador máximo entero de un número real \(x\). El cual está definido por \[\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[x \right]\kern-0.17em\right] = n\qquad \leftrightarrow \qquad n = \text{máx} \left\{ {m \in {\Bbb Z}\;|\; m \leq x} \right\}}\]

Propiedades

1.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[{ x }\right]\kern-0.17em\right]\in\mathbb{Z}\,,\quad \forall x\in\mathbb{R}}\)

2.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[{ x }\right]\kern-0.17em\right]=x\quad \leftrightarrow \quad x\in\mathbb{Z}}\)

3.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] \le x < \left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] + 1\,,\quad\forall x \in \mathbb{R}}\)

5.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] = n \quad\leftrightarrow\quad n \leq x \leqslant n + 1\;,\quad n \in \mathbb{Z}}\)

6.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] \geq a \quad\leftrightarrow\quad x \geqslant a}\)

7.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] < a \quad\leftrightarrow\quad x < a}\)

8.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] \leq a\quad \leftrightarrow\quad x < a + 1}\)

9.   Si \(\boldsymbol{m \in \mathbb{Z}\quad\to\quad\left[\kern-0.17em\left[ {x + m}
 \right]\kern-0.17em\right] = \left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] + m}\)

10.  \(\boldsymbol{\forall\;x,y\in\mathbb{R}},\)    Si  \(\boldsymbol{x\leq y\quad\to\quad\left[\kern-0.17em\left[ x \right]\kern-0.17em\right] \leq \left[\kern-0.17em\left[ y \right]\kern-0.17em\right]}\)

Pulse aquí para más

>> Propiedades y ejercicios resueltos <<
con Máximo Entero

Todas las demás entradas relacionadas con máximo entero

se pueden encontrar aquí

http://matematicauniversitaria.com/?s=maximo+entero

Bibliografía.
Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.

Rango de funciones compuestas: máximo entero y valor absoluto

El último mensaje recibido es una consulta de un estudiante de Lima-Perú, gracias al Canal AporteMath.

Materia: Matemática Básica
Tema: Funciones Reales de Variable Real
Universidad Inca Garcilazo de la Vega

Calcule la intersección del rango de las funciones: \[\begin{array}{lcl}
f(x)&=&\left[\kern-0.17em\left[ {x + 3} \right]\kern-0.17em\right] + \left[\kern-0.17em\left[ {1 - x}\right]\kern-0.17em\right] \\
g(x)&=&\left| {x + 3} \right| - \left| {1 - x} \right| \\
\end{array} \] Solución:
1º) Calculando el rango de \(f\quad\) [ \({\rm{ran}}(f)\) ]
Por propiedad Nº 9 del máximo entero se tiene: \[
\left[\kern-0.17em\left[{x + 3}\right]\kern-0.17em\right]=
\left[\kern-0.17em\left[{x}\right]\kern-0.17em\right]+3\] y \[
\left[\kern-0.17em\left[{1-x} \right]\kern-0.17em\right]=
1+\left[\kern-0.17em\left[{-x} \right]\kern-0.17em\right]\] como ejercicio para el lector, dejo que verifique que: \[\left[\kern-0.17em\left[x
\right]\kern-0.17em\right] + \left[\kern-0.17em\left[ { - x}
\right]\kern-0.17em\right] = - 1\;,\quad\forall x\in\mathbb{R}\] entonces, reemplazando estos resultados en \(f\) se tiene: \[ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}l}
f(x) &=& \left[\kern-0.17em\left[{x+3} \right]\kern-0.17em\right] &+& \left[\kern-0.17em\left[{1-x}\right]\kern-0.17em\right] \\
&=& \left(\left[\kern-0.17em\left[{x} \right]\kern-0.17em\right] + 3\right)&+& \left(1+\left[\kern-0.17em\left[{-x}\right]\kern-0.17em\right]\right) \\
&=&\left[\kern-0.17em\left[{x} \right]\kern-0.17em\right]&+& \left[\kern-0.17em\left[{-x}\right]\kern-0.17em\right]+4 \\
&=&-1&+&4\\
&=& &3&
\end{array} \] \(f\) tiene un valor constante e igual a 3 para toda \(x\) en \(\mathbb{R}\). Por tanto \[{\rm{ran}}(f)=\{3\}\]

2º) Calculando el \({\rm{ran}}(g)\)
Calculando los puntos críticos: \[ \begin{array}{rccl}
x + 3=0 & \wedge & 1 - x=0 \\
x =-3 & \wedge & x = 1 \\
\end{array} \] éstos puntos originan 3 intervalos en la recta real (casos 1º - 3º), en los que los términos \(\;\;\left| {1-x} \right|\;\;\) y \(\;\;\left| {x + 3} \right|\), que conforman \(g\), asumirán valores distintos: \[ \begin{array}{rccl}
            \rm{1º)} &   x < -3  & \rightarrow  & \left|{x + 3}\right|=-x-3 \quad  \rm{,} \\
                &                &              & \left|{x-1}\right|= -x+1 \\ 
            \rm{2º)} & -3\leq x <1  & \rightarrow  & \left|{x + 3}\right|=x+3 \quad \rm{,} \\
                     &                &            & \left|{x-1}\right|= -x+1 \\
            \rm{3º)} &    1 \leq x       & \rightarrow & \left|{x + 3}\right|=x+3 \quad \rm{,} \\
                     &                &             & \left|{x-1}\right|= x-1 \\
\end{array} \] nótese que: \(\left| {1 - x} \right|\) puede escribirse como \(\left| {x - 1} \right|\)
Restando los términos del lado derecho en cada caso se obtiene:

\[ \begin{array}{rccl}
            \rm{1º)} &   x<-3     & \rightarrow  & g(x)=(-x-3)-(-x+1)=-4 \\
            \rm{2º)} & -3\leq x <1  & \rightarrow  & g(x)=(x+3)-(-x+1)=2x+2 \\
            \rm{3º)} &    1 \leq x     & \rightarrow  & g(x)=(x+3)-(x-1)=4\\
\end{array} \] Es decir la función \(g\) es la función seccionada: \[g(x)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&,&{x < - 3} \\ {2x + 2}&,&{ - 3 \leq x <  1} \\ 4&,&{1 \leq x} \end{array}} \right.\] En la Segunda sección de esta función se observa que si \[ \begin{array}{rcl}
            & -3\leq x<1\\
\rightarrow & -6\leq 2x<2\\
\rightarrow & -4\leq 2x+2<4\\
\rightarrow & -4\leq g(x)<4\\
\rightarrow & g(x)\in\langle-4,4]
\end{array} \] En la primera sección se ve que \(g(x)=-4\) cuando \(x<-3\), luego \[g(x)\in[-4,4] \;,\quad \forall x\in\mathbb{R}\] es decir se ha deducido que el \[{\rm{ran}}(g)=[-4,4]\] Con el software maple, para graficar puede usarse la orden
> plot(abs(x+3)-abs(1-x)); 
(úsese solo para verificar, no para omitir el paso del desarrollo de l ejercicio)

Gráfica en maple de la función valor absoluto
compuesta \(g(x)=\left|{x+3}\right|-\left|{1-x}\right|\)

Finalmente, lo que nos solicitaba el ejercicio es: \[ \begin{array}{rcl}
{\rm{ran}}(f) \cap {\rm{ran}}(g) &=& [ - 4,4] \cap \{3\} \\
&=& \left\{ \,3 \right\} \\
\end{array} \]

Pulse aquí para ver más

>> Propiedades y ejercicios resueltos <<
con Máximo Entero

Todas las demás entradas relacionadas con máximo entero

se pueden encontrar aquí

http://matematicauniversitaria.com/?s=maximo+entero

Bibliografía.

Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.

Validando una Inferencia Lógica (VIDEO)

Últimamente me plantearon el ejercicio de demostrar una inferencia. Pero aquí veremos que no se debe demostrar la inferencia hasta que se tenga la seguridad de que se haya validado dicha inferencia con la Prueba Formal de Invalidez o Método Abreviado, el mismo que se ha mencionado en el vídeo parte 7.
Queda abierta cualquier duda al respecto, pueden formular más preguntas si desean.

- Mat. Salomón Ching -
APORTES MATEMÁTICOS

¿Cómo demuestro: √(│y-x│) ≥ │√y-√x│ ?

Dirigiéndonos a la teoría de los números reales, a petición de uno de mis lectores de Sincelejo Colombia, desmostraré la desigualdad: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|}  \geqslant \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\] para todo \(x,y \in \mathbb{R}_0^{+}\)

Enumeraré cada paso para dejar lugar a los comentarios, si es que hay algo que no se entienda, fácilmente se podrá ubicar la parte con el número de paso correspondiente.

Además la dividiré en 2 partes. En la primera, transformo la desigualdad en otra equivalente a través de una serie de pasos válidos en los teoremas de números reales. En la segunda efectuaré la demostración formal de la desigualdad equivalente.

Empezamos:

Obsérvese que la igualdad \(\sqrt {\left| {y - x} \right|}  = \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\)  solo se satisface para \(x = 0\,\,\,,\,\,\,\,y = 0\) así que solo se trabajará con la desigualdad estricta: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|}  > \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\quad\ldots(1)\] Parte I: 
1. Elevando al cuadrado \[\begin{gathered}
  {\sqrt {\left| {y - x} \right|} ^2} > {\left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|^2}\\
  \left| {y - x} \right| > {\left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|^2}\\
  \left| {y - x} \right| > {\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)^2}\\
\end{gathered} \] 2. Multiplicando por \({\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\) a cada lado de la desigualdad \[ \begin{array}{rcl}
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>&{\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)^2}{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} \\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>&{\left[ {\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)} \right]^2} \\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left( {{{\sqrt y }^2} - {{\sqrt x }^2}} \right)^2}\\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left( {y - x} \right)^2}\\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left| {y - x} \right|^2}\\
\end{array} \] 3. Cancelando el factor \(\left| {y - x} \right|\) \[{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} > \left| {y - x} \right|\] 4. Esta desigualdad la podemos escribir con el símbolo de menor que cambiando de lado sus miembros \[\left| {y - x} \right| < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\] 5. Recordemos la propiedad \(\left| x \right| < b \Leftrightarrow  - b < x < b\), en donde podemos considerar \(b = \scriptstyle{{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}}\), entonces: \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}.\] Parte II
1. Acabamos de transformar la desigualdad inicial (1) en: \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\] que es la intersección de \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x\quad\ldots(2)\] con \[y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\quad\ldots(3)\] 2. Para demostrar la desigualdad (2) tenemos: \[ \begin{array}{lcl}
- {\left({\sqrt y +\sqrt x } \right)^2} &=& - \left( {y + 2\sqrt {xy} + x} \right) \\
&<& - \left( {y + x} \right) \\
&=& - y - x \\
&<& - y + x\\
&=& - y + x\\
\end{array} \] 3. Uniendo los extremos se ve claramente que \[ - {\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)^2} < y - x\] Dejo como ejercicio al lector la demostración de la desigualdad (3).

Habiendo demostrado las desigualdades estrictas (2) y (3), y la igualdad con \(x = 0\; , \quad y = 0\) puede afirmarse que se cumple \[{\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)^2} > \left| {y - x} \right|\] \[\forall\; x,y \in {\mathbb{R}^+}\] entonces multiplicando esta última desigualdad por \(\left| {y - x} \right|\) y realizando el proceso visto en el paso 2 y paso 1 de la parte I de forma inversa, quedará demostrado que: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|} \geqslant \left| {\sqrt y - \sqrt x } \right|\] \[\forall\; x,y \in \mathbb{R}_0^{+}\] l.q.q.d.

Escribe fórmulas LaTeX en Word

Aurora

Aurora le permite utilizar LaTeX en Microsoft ® Word , PowerPoint ® Visio ®, Excel ®, y muchos otros programas. Se asegura de que sus fórmulas se ve bien, bellamente impresa, y jugar bien con el resto del texto. Aurora se encarga de las pequeñas cosas como la numeración de ecuaciones y colocarlos en la página, y se queda fuera de su camino el resto del tiempo.

Esto es lo que Aurora con el siguiente aspecto:

Si usted es un veterano de LaTeX, Aurora le hará sentirse como en casa. E incluso si usted no está, la documentación de Aurora, resaltado de sintaxis, y cuenta con vista previa tendrá que TeX más rápido que escribir en ningún momento.

---

¿Por qué Aurora es bueno para usted

• N del ratón más la caza de los símbolos a entrar en el futuro matemáticas gran rapidez y eficacia utilizando el lenguaje estándar de composición tipográfica científica.
• Expresar cualquier concepto científico de las matemáticas , la informática ,la química , la ingeniería , y muchas otras áreas.
• La integración completa con Microsoft ® Word , PowerPoint ® , Visio ® yExcel ® .
• Incorporado convertidor de documentos LaTeX .
• Soporte avanzado para la ecuación de numeración .
• Funciona con cualquier aplicación de Windows que tiene un "Insertar objeto ..." la función o le permite pegar imágenes.

Más información:

http://elevatorlady.ca/