miércoles, 20 de abril de 2011

Aplicaciones de la función Máximo Entero o Mayor Entero en la vida real

Voy a dar un ejemplo de la vida cotidiana en que se utiliza la función máximo entero o función mayor entero de variable real \(x\): \[ \left[\kern-0.15em\left[x \right]\kern-0.15em\right] = n\qquad \leftrightarrow \qquad n \leq x < n + 1, \qquad n\in\mathbb{Z} \] Sea \(C(w)\) es el costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso \(w\). La regla que en 2007 aplicaba el U.S. Postal Service es la siguiente:

El costo es de 39 centavos de dólar hasta por una onza, más 24 centavos por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas. 

Esta tarifa produce la siguiente tabla de valores de \(C\).  \[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{\text{Peso}}({\text{onzas}}) \\
\boldsymbol{w} \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\text{Costo}}({\text{US} \$}) \\
\boldsymbol{C(w)}\, \\
\end{gathered} \\ \hline
{0 < w \leq 1}&{0.39} \\
{1 < w \leq 2}&{0.63} \\
{2 < w \leq 3}&{0.87} \\
{3 < w \leq 4}&{1.11} \\
\begin{gathered}
4 < w \leq 5 \\
\vdots \\
12 < w \leq 13 \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
1.35 \\
\vdots \\
3.27 \\
\end{gathered}
\end{array}\]              Una función definida por una tabla de valores es llamada función tabular.

La regla de correspondencia de esta función de costo \(C\) en función del peso \(w\) está determinada por la función seccionada: \[C(w) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {0.39}&,&{{\text{si}}}&{0 < w \leq 1} \\
  {0.63}&,&{{\text{si}}}&{1 < w \leq 2} \\
  {0.87}&,&{{\text{si}}}&{2 < w \leq 3} \\
  {1.11}&,&{{\text{si}}}&{3 < w \leq 4} \\
   \vdots &{}&{}& \vdots  \\
  {3.27}&,&{{\text{si}}}&{12 < w \leq 13}
\end{array}} \right.\] Si observamos su gráfica
Funciones similares a ésta
son llamadas funciones escalón,
pues saltan de un valor al siguiente.
Podemos ver que es muy similar al gráfico de la función mayor entero, la diferencia está en que los valores son decimales. Pero si observamos más analíticamente vemos que: \[39, 63, 87, 111, \ldots\] que son los valores de \(C(w)\), multiplicados por 100, los cuales están en progresión aritmética con razón positiva e igual a 24. Y al calcular su regla de formación viene a ser: \[a_n=24n+15\;,\;n\in\mathbb{Z^+}\] en efecto, vemos que:  \({a_1} = 24(1)+15=39\) cuando \(0 < w \leq 1\)  y  \({a_2} = 24(2)+15=63\) cuando \(1 < w \leq  2\) \[\begin{array}{*{20}{c}}
  \boldsymbol{n}&&\boldsymbol{100C=a_n}&&\boldsymbol{w} \\ \hline
  1&&{39}&&{0 < w \leq 1} \\
  2&&{63}&&{1 < w \leq 2} \\
  3&&{87}&&{2 < w \leq 3} \\
   \vdots && \vdots && \vdots
\end{array}\] Si observamos la primera y tercera columna \[\begin{array}{*{20}{c}}
  \boldsymbol{n}&&\boldsymbol{w} \\ \hline
  1&&{0 < w \leq 1} \\
  2&&{1 < w \leq 2} \\
  3&&{2 < w \leq 3} \\
   \vdots && \vdots
\end{array}\] esta tabla puede escribirse así: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  \boldsymbol{n}&{}&\boldsymbol{w} \\ \hline
  {-(-1)}&,&{-1 \leq -w<0} \\
  {-(-2)}&,&{-2 \leq -w<-1} \\
  {-(-3)}&,&{-3 \leq -w<-2} \\
   \vdots &{}& \vdots  \\
  {-[\kern-0.15em[-w]\kern-0.15em]}&,&{[\kern-0.15em[-w]\kern-0.15em]\leq-w<[\kern-0.15em[-w]\kern-0.15em]+1} \\ \hline
\end{array}\]en donde claramente se ve que: \(n =-[\kern-0.15em[- w]\kern-0.15em] \) , y además se tiene: \[\begin{gathered}
C(w) = \frac{{{a_n}}}{{100}} \\
C(w) = \frac{{24n + 15}}{{100}} \\
\end{gathered} \] Si reemplazamos \(n\), \[C(w) = \frac{{24\left( {- [\kern-0.15em[ -w ]\kern-0.15em] } \right) + 15}}{{100}}\]la función que modela el costo \(\boldsymbol{C}\) del envío de cartas de peso \(\boldsymbol{w}\) viene dada por: \[C(w) = \frac{{15-24 [\kern-0.15em[- w ]\kern-0.15em] }}{{100}}\] cuyo dominio para este problema es \[w \in \left( {0,13} \right].\] Podemos graficarla con el software Maple con la instrucción:
> C:=(15-24*floor(-w))/100:
> plot(C,w=0..13,color=blue);
La orden floor(x) le permite a maple
calcular el máximo entero de x.
Lógicamente, en este gráfico, por limitaciones del software deben ignorarse los segmentos verticales presentes en los escalones de la función \(C=C(w)\).

Bibliografía
1. Stewart, James. 2008. Calculus Early Trascendentals. 6th ed. Belmont, CA. USA : Thomson Learning Inc, 2008. pág. 18 de 1336 pp. ISBN 0-495-01166-5.

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