Aplicación de las funciones cuadráticas en la vida real

Las funciones cuadráticas modelan gran parte de situaciones del mundo físico. Aquí se muestra una de ellas, con la proposición y desarrollo del siguiente

Ejercicio Explicativo.
El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro: el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Determinar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

Solución.
Empezarnos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo que el eje \(x\) coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente.
Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a 746-220=526 pies arriba de la calzada y ubicadas a \(\frac{4200}{2}=2100\) pies del centro.
Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia arriba, y tendrán su vértice en \((0,0)\) como se ilustra en la figura de abajo

La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite identificar la ecuación de una parábola como \[y = ax^2 \quad,\quad a>0.\] Obsérvese que los puntos \((-2100, 526)\) y \((2100, 526)\) están en la gráfica parabólica.

Con base en estos datos podemos encontrar el valor de \(a\) en \(y = ax^2\): \[\begin{gathered}
  y = a{x^2} \\
  526 = a{(2100)^2} \\
  a = \frac{{526}}{{{{(2100)}^2}}} \\
\end{gathered} \] Así, la ecuación de la parábola es \[y = \frac{{526}}{{{{(2100)}^2}}}{x^2}\] La altura del cable cuando \(x=1000\) es \[y = \frac{{526}}{{{{(2100)}^2}}}{(1000)^2} \approx 119.3\,\,{\text{pies}}\] Por tanto, el cable mide 119.3 pies de altura cuando se está a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

Biliografía.
1. Sullivan, Michael. Precálculo. 4ta ed. Prentice Hall Hispanoamericana SA. Naulcalpan de Juarez, México. 1997. pag Nº 186 de 842 pp ISBN: 968-880-964-0.

Dos Demostraciones Directas en Inferencia Lógica (VIDEO)

Inferencias lógicas. 

Demostración directa o Prueba formal de validez

Dos ejercicios resueltos explicados paso a paso. La novedad del vídeo es que resuelvo los ejercicios sólo con 4 leyes de inferencia:

1. Modus Ponens
2. Modus Tollens
3. Tollendo Ponens y
4. Ley de la Doble Negación

Resalto la importancia de la doble negación, que no se incluyó en anteriores vídeos.

Aplicación de la Función exponencial \({\rm a}^x\) o \({\rm e}^x\)

La función exponencial se produce con mucha frecuencia en los modelos matemáticos de la naturaleza y de la sociedad. Aquí se indicará brevemente cómo surge en la descripción del crecimiento de poblaciones.

Propagación de Bacterias
Considere una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Suponga que haciendo un  muestreo de la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el instante $t$ es \(p(t)\), donde \(t\) se mide en horas, y la población inicial es \(p(0)=1000\) habitantes, entonces tenemos: \[\begin{gathered} p(1) = 2p(0) = 2 \times 1000\\
p(2) = 2p(1) = 2^2 \times 1000\\
p(3) = 2p(2) = 2^3 \times 1000\\
\end{gathered} \] Con base en este patrón, en general se cumple \[p(t) = {2^t} \times 1000 = (1000){2^t}\] Esta función de población es un múltiplo escalar de la función exponencial \(y=2^x\) (cambie \(x\) por \(t\) ), entonces posee un rápido crecimiento, tal como se puede apreciar en su respectiva gráfica:

La función \(y=2^x\) crece incluso más rápido
que la fucnión \(y=x^2\) cuando \(x>0\)

En condiciones ideales (espacio y nutrición ilimitados con ausencia de enfermedad), este crecimiento exponencial es típico de lo que realmente ocurre en la naturaleza.

Población Humana Mundial
La siguiente tabla muestra los datos de la población  mundial en el siglo XX y en la figura siguiente se muestra el diagrama de dispersión correspondiente. \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{|c}}
{{\text{Año}}}&\begin{gathered}
{\text{Población}}\\
{\text{(millones)}}\\
\end{gathered} \\ \hline
{{\text{1900}}}&{{\text{1650}}} \\
{{\text{1910}}}&{{\text{1750}}} \\
{{\text{1920}}}&{{\text{1860}}} \\
{{\text{1930}}}&{{\text{2070}}} \\
{{\text{1940 }}}&{{\text{2300}}} \\
{{\text{1950 }}}&{{\text{2560}}} \\
{{\text{1960 }}}&{{\text{3040}}} \\
{{\text{1970 }}}&{{\text{3710}}} \\
{{\text{1980 }}}&{{\text{4450}}} \\
{{\text{1990 }}}&{{\text{5280}}} \\
{{\text{2000}}}&{{\text{6080}}}
\end{array}} \\
{{\text{Población humana mundial}}}
\end{array}\]

Dispersión para el crecimiento de la población mundial

Si ponemos los datos de la tabla en una hoja de Excel podemos encontrar fácilmente la función exponencial que se ajusta a los datos, con la finalidad de obtener interpolaciones (valores intermedios) y extrapolaciones (valores externos) necesarias para una predicción bien aproximada de la población en los años siguientes.

Obtenido con Excel 2007,
herramienta inserción de gráficos -> dispersión -> línea de tendencia 

Excel usó el método de mínimos cuadrados para encontrar la función que ajusta a los datos (en excel es llamada línea de tendencia) la cual viene a ser: \(y={\text{(8}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{ - 9}}}}{\text{)}}{{\text{e}}^{0.0136x}}.\) Interpretando el resultado:

La población mundial en el año \(t\) es: \[{\text{p(t) = (8}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{ - 9}}}}{\text{)}}{{\text{e}}^{0.0136t}}\;\;\text{millones de habitantes}\]

El modelo exponencial de crecimiento de población mundial en el año \(t\)

Bibliografía
1. Stewart, James. 2008. Calculus Early Trascendentals. 6th ed. Belmont, CA. USA : Thomson Learning Inc, 2008. pág. 18 de 1336 pp. ISBN 0-495-01166-5.

La Función Signo de un Número Real [ y = sgn(x) ]

La función signo de un número real \(x\) es una función de valor real cuya regla de correspondencia viene dada por: \[\operatorname{sgn} (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&,&{{\text{si}}}&{x > 0} \\
  0&,&{{\text{si}}}&{x = 0} \\
  { - 1}&,&{{\text{si}}}&{x < 0}
\end{array}} \right.\] su gráfica es la de una función de dos escalones con un salto en \(x=0\)

\(\operatorname{sgn}(x)\) se lee: signo del número real \(\boldsymbol{x}\)

También puede expresarse de la forma: \[f = \left\{ {(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\;|\;y = \operatorname{sgn} (x)} \right\}\] donde su dominio y rango son respectivamente: \[\begin{gathered}
  {\text{Dom}}(f) = \mathbb{R} \\
  {\text{Ran}}(f) = \{-1,0,1\}  \\
\end{gathered} \] Existen situaciones en que se debe hallar el dominio y gráfico de funciones signo compuestas por funciones algebraicas o funciones elementales como veremos en el desarrollo del siguiente ejercicio:
Trazar el gráfico de la función \[\boldsymbol{f(x) = \operatorname{sgn} \left( {|{x^2}-1|-1} \right)}\] Solución
Primera forma

Por definición de función signo: \[\operatorname{sgn} \left( {|{x^2}-1| -1} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&,&{\left| {{x^2} -1}\right| -1 >0\,\,\,...\,\,\,(1)} \\
  0&,&{\left| {{x^2} -1}\right| -1 = \,0\,\,\,...\,\,(2)} \\
  { -1}&,&{\left| {{x^2} - 1}\right| -1<0\,\,\,...\,\,(3)}
\end{array}} \right.\] Analizando las tres condiciones:
En la condición (1) se tiene: \[\begin{gathered}
  \left|{{x^2} - 1} \right| > 1 \\
  {x^2}-1 > 1 \quad \vee\quad {x^2} -1< -1 \\
{x^2} > 2 \quad \vee\quad {x^2} < 0\\
{x^2} - 2 > 0 \\
(x + \sqrt 2 )(x - \sqrt 2 ) > 0\\
\end{gathered} \] por el método de puntos críticos

Se elige los intervalos (+) porque la inecuación dice: \(>0\)

así la condición (1) es: \[x\in\left\langle { - \infty , - \sqrt 2 } \right\rangle  \cup \left\langle {\sqrt 2 ,\infty } \right\rangle\] En la condición (2) se tiene: \[\begin{gathered}
  \left| {{x^2} - 1} \right| = \,1 \\
  {x^2} - 1 = \,1\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,{x^2} - 1 = \, - 1 \\
  {x^2} = \,2\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \,0 \\
  x =  \pm \,\sqrt{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \,0 \\
\end{gathered} \]
así la condición (2) es: \[x \in \left\{ { - \sqrt 2 \;,\;0\;,\;\sqrt 2 } \right\}\]
En la condición (3) se tiene: \[\begin{gathered}
  \left| {{x^2} - 1} \right| < 1 \\
   - 1 < {x^2} - 1 < 1 \\
   0 < {x^2} < 2 \\
   0 < {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} < 2 \\
   \left[ {x < 0 \vee x > 0} \right]\quad \wedge \quad \left[ {{x^2} - 2 < 0} \right]\\ \left[ {x < 0 \vee x > 0} \right] \wedge \left[ {\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right) < 0} \right] \\
\end{gathered} \]

Se elige el intervalo (-) porque la inecuación tiene: \(<0\)
luego se intersecta con \(x<0\) y \(x>0\) 

entonces la condición (3) es: \[x \in \left\langle { - \sqrt 2 {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} ,\,\,0{\kern 1pt} } \right\rangle  \cup \left\langle {0\,\,,\sqrt 2 } \right\rangle \] Ahora de lo hallado de (1), (2) y (3) la función \(f(x)\) está dada por: \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&,&{x \in \left\langle { - \infty , - \sqrt 2 } \right\rangle  \cup \left\langle {\sqrt 2 ,\infty } \right\rangle } \\
  0&,&{x \in \left\{ { - \sqrt 2 \,\,,0\,,\sqrt 2 } \right\}} \\
  { - 1}&,&{x \in \left\langle { - \sqrt 2 ,0} \right\rangle  \cup \left\langle {0,\sqrt 2 } \right\rangle }
\end{array}} \right.\] Finalmente con los intervalos hallados en las 3 condiciones se construye el gráfico de \(f(x)\)

Segunda forma

Este problema también puede resolverse mediante una forma gráfica.
En efecto, con los criterios para gráficos de la función cuadrática y valor absoluto partimos graficando \(y = \left| {{x^2} - 1} \right|\) está representada por:

al restarle 1 al valor de esta función su gráfica se desplaza una unidad hacia abajo

proyectando el gráfico de esta función sobre el eje x, vemos claramente las partes negativas (en rojo) y las partes positivas (azul) y los puntos críticos (o ceros) (en naranja), lo que nos ayuda a ver cual será el gráfico de \(f(x)\) de acuerdo a la definición de función signo. En otras palabras se ha encontrado las 3 condiciones anteriormente calculadas.

Entonces el gráfico de la función \(f(x)\) es:

Bibliografía:
Espinoza Ramos E, Matemática Básica. Editorial Serv. Graf. J.J. Lima - Perú. 2002.
Figueroa García R, Matemática Basica. Editorial América.  Lima - Perú. 1992.

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Aplicaciones de la función Máximo Entero o Mayor Entero en la vida real

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El Mayor Entero o Máximo Entero de un número real

El mayor entero de un número real \(x\), denotado por \(\left[\kern-0.17em\left[x \right]\kern-0.17em\right]\), es un número entero \(n\) el cual es el máximo de todos los números enteros menores o iguales que \(x\), es decir:

\[\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[x \right]\kern-0.17em\right] = n\qquad \leftrightarrow \qquad n = \text{máx} \left\{ {m \in {\Bbb Z}\;|\; m \leq x} \right\}}\]

Ejemplos

1. \(\left[\kern-0.17em\left[ {2.4}\right]\kern-0.17em\right] = 2\) , puesto que \[ \begin{eqnarray}
2 &=&\text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq 2.4} \right\} \\
&=&\text{máx}\left\{ {\ldots, - 1,\,\,0,\,\,1,\,\,2} \right\}
\end{eqnarray}
\] tal como se aprecia en el gráfico de arriba.

2. \(\left[\kern-0.17em\left[ {-2.4}\right]\kern-0.17em\right] = -3\) , puesto que \[ \begin{eqnarray}
-3 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq -2.4} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, -6,\,\,-5,\,\,-4,\,\,-3} \right\}
\end{eqnarray}
\]

3. \(\left[\kern-0.17em\left[ {5}\right]\kern-0.17em\right] = 5\) , puesto que \[ \begin{eqnarray}
5 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq 5} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, 2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right\}
\end{eqnarray}
\]

4. \(\left[\kern-0.17em\left[ {-4}\right]\kern-0.17em\right] = -4\) , puesto que \[ \begin{eqnarray}
-4 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq -4} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, -7,\,\,-6,\,\,-5,\,\,-4} \right\}
\end{eqnarray}
\]

5. \(\left[\kern-0.17em\left[ {\pi}\right]\kern-0.17em\right] = 3\) , puesto que \(\pi \approx 3.14\) \[ \begin{eqnarray}
3 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq 3.14} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, 0,\,\,1,\,\,2,\,\,3} \right\}
\end{eqnarray}
\]

6. \(\left[\kern-0.29em\left[{1-\sqrt{2}}\right]\kern-0.29em\right] = -1\)  ,  puesto que  \( \left(1-\sqrt{2}\right)\approx -0.41\)   \[ \begin{eqnarray}
-1 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq -0.41} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, -4,\,\,-3,\,\,-2,\,\,-1} \right\}
\end{eqnarray}
\]

Pulse aquí para ver las

>> Propiedades y ejercicios resueltos <<
de Máximo Entero

Bibliografía.
Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.

Ejercicios Resueltos de Física - Estática

Problemas que se resuelven usando la primera y segunda condición de equilibrio.
Institución: I.E. San Agustín 
                   Chiclayo - Perú
                   4to Año de secundaria

ESTÁTICA – EJERCICIOS RESUELTOS

1. La barra mostrada pesa 20N y está en reposo. Calcular la longitud de la barra, si además se sabe que la reacción en el apoyo B es 5N.

Solución
Sea \(L\) la longitud de la barra, entonces su diagrama de cuerpo libre (DCL) para la barra es:

De la segunda condición de equilibrio “La suma de momentos con respecto al punto O es nula”, se tiene:

\[\sum {{M_0}}  = 0\; \ldots \;(1.1)\]

reemplazando el lado izquierdo de (1.1):
\[M_0^{{F_1}} + M_0^W + M_0^{{F_2}} = 0\] calculando los momentos de \({F_1}\), \(W\) y \({F_2}\) respectivamente: \[\boxed{2 \cdot {F_1} - \frac{L}{2} \cdot W + L \cdot {F_2} = 0}\; \ldots \;(1.2)\] por dato del problema: \[\begin{gathered}
{F_2} = 5\,\,{\text{N}} \\
W = 20\,\,{\text{N}} \\
\end{gathered} \] entonces: \[\begin{gathered}
2 \cdot {F_1} - \frac{L}{2} \cdot 20 + L \cdot 5 = 0 \\
2{F_1} - 10L + 5L = 0 \\
\end{gathered} \] \[\boxed{2{F_1} - 5L = 0}\; \ldots \;(1.3)\] Por otro lado de la primera condición de equilibrio “la suma de todas las fuerzas en y es igual a cero” entonces:
\[\sum {{F_y}}  = 0\]\[\begin{gathered}
{F_1} + {F_2} - W = 0 \\
{F_1} + 5 - 20 = 0 \\
{F_1} - 15 = 0 \\
\end{gathered} \] \[\left. {\underline {\,
{{F_1} = 15} \,}}\! \right| \] Reemplazando \({F_1}\)  en (1.3): \[\begin{gathered}
2(15) - 5L = 0 \\
2(15) = 5L \\
2(3) = L \\
\left. {\underline {\,
{L = 6\,\,{\text{m}}} \,}}\! \right| \\
\end{gathered} \]

Rpta: a)

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Ejercicios Resueltos de Matemática Básica

Después de varias horas de desarrollo de una práctica que me encargaron, paso a compartirla en formato PDF escaneado.

Área: Pre-Cálculo
Nº de Ejercicios: 21
Universidad: Santo Toribio de Mogrovejo (Chiclayo-Perú)
Contenido:
Funciones Reales de Variable Real (\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\))

• Dominio, rango y gráfica de funciones: 
• Lineales \(f(x) = ax + b\), 
• Cuadráticas \(f(x) = a{x^2} + bx + c\), 
• Raíz cuadrada \(f(x) = \sqrt x \), 
• Valor absoluto \(f(x) = |x|\), 
• Máximo entero \(f(x) =  [\kern-0.15em[ x ]\kern-0.15em] \)
• Composición de funciones \[(f \circ g)(x)=f\left( {g(x)} \right)\]
• Aplicaciones a la vida real. (cálculo de funciones que modelen a un fenómeno en particular)
• Algebra de funciones:
• Adición (\(f + g\)), 
• Sustracción (\(f - g\)), 
• Multiplicación (\(f \cdot g\)), 
• División \(\left( {\frac{f}{g}} \right)\)

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Fórmulas Clásicas de Geometría Elemental

Enumero aquí las formulas más usuales de la geometría elemental.

Triángulo Rectángulo

1. Teorema de Pitágoras
"En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" \[\boldsymbol{c^2 = a^2 + b^2}\] donde : \(c\) := hipotenusa y \(a,b\) := catetos

2. Áreas de un triángulo.

Cualquier triángulo

2.1 Aréa I.- "En todo triángulo el área de su superficie \(A\) es igual al producto de su base \(b\) por su correspondiente altura  \(h\) dividida entre 2". \[\boldsymbol{A_{\scriptscriptstyle \Delta}=\frac{bh}{2}}\] Nota: Si el triángulo es rectángulo, su área es el producto de sus catetos sobre dos.

2.2 Área II.- "En todo triángulo el área de su superficie  \(A\) es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro \(p\) con las diferencias del mismo con cada uno de sus lados". 

\[\boldsymbol{A_{\scriptscriptstyle \Delta}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\] (fórmula de Herón)

siendo el semiperímetro:  \(p=\frac{a+b+c}{2}\) y por el postulado de Euclides: \(\alpha+\beta+\gamma=180º.\)

2.3 Área III.- "En todo triángulo el área de su superficie \(A\) es igual al semiproducto del seno de uno de sus ángulos con el producto de las longitudes de los lados que forman dicho ángulo".

\[\boldsymbol{A_{\scriptscriptstyle \Delta}=\frac{ab\sin\gamma}{2}\;,\quad A_{\scriptscriptstyle \Delta}=\frac{bc\sin\alpha}{2}\;,\quad A_{\scriptscriptstyle \Delta}=\frac{ac\sin\beta}{2}}\]

3. Círculo y circunferencia.

Círculo de radio \(r\)

"El área del círculo (A), es directamente proporcional al cuadrado su radio".  \[\boldsymbol{A_{\scriptscriptstyle C}=\pi r^2}\] "La longitud de la circunferencia (L) es directamente proporcional a su radio. \[\boldsymbol{L_{\scriptscriptstyle C}=2\pi r}\] donde \(r\) := radio  y \(O\) es el centro del círculo".
4. Sector circular.

Sector circular de radio \(r\)

"El área del sector circular es el semiproducto del cuadrado de su radio por el valor numérico de su ángulo medido en radianes"\[\boldsymbol{A_{\scriptscriptstyle SC}=\frac{\theta r^2}{2}}\]
5. Ley de Cosenos.
"El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de las longitudes de los mismos por el coseno del ángulo que éstos forman entre sí".

\[\begin{array}{c}
\boldsymbol{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \gamma} \\
\boldsymbol{{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \beta} \\
\boldsymbol{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha}
\end{array}\]

[continua....]

Símbolos matemáticos en tu correo electrónico

GmailTeX es un plugin que añade la capacidad del procesador de texto científico \(\LaTeX\) tu cuenta de Gmail, de modo que usted puede enviar y recibir correo electrónico texto en LaTeX. Aqui la imagen lo muestra mejor, así que en pocas palabras esto es lo que hace:

GmailTeX trabaja en todos los navegadores modernos: Mozilla Firefox (versión 3.6 y posteriores), Google Chrome, Opera, Safari (versión 5), y Microsoft Internet Explorer (versión 9).

GmailTeX utiliza MathJax como su motor de TeX.

Para LaTeX en el chat de Gmail, puede utilizar el GmailChatTeX userscript. Para ver de látex en las páginas web donde un diseñador de páginas web no proporcionan un servidor-junto al camino de hacerlo (por ejemplo, arXiv.org, front.math.ucdavis.edu), puede utilizar la pantalla-latex2 userscript.

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