Rango de funciones compuestas: máximo entero y valor absoluto

El último mensaje recibido es una consulta de un estudiante de Lima-Perú, gracias al Canal AporteMath.

Materia: Matemática Básica
Tema: Funciones Reales de Variable Real
Universidad Inca Garcilazo de la Vega

Calcule la intersección del rango de las funciones: \[\begin{array}{lcl}
f(x)&=&\left[\kern-0.17em\left[ {x + 3} \right]\kern-0.17em\right] + \left[\kern-0.17em\left[ {1 - x}\right]\kern-0.17em\right] \\
g(x)&=&\left| {x + 3} \right| - \left| {1 - x} \right| \\
\end{array} \] Solución:
1º) Calculando el rango de \(f\quad\) [ \({\rm{ran}}(f)\) ]
Por propiedad Nº 9 del máximo entero se tiene: \[
\left[\kern-0.17em\left[{x + 3}\right]\kern-0.17em\right]=
\left[\kern-0.17em\left[{x}\right]\kern-0.17em\right]+3\] y \[
\left[\kern-0.17em\left[{1-x} \right]\kern-0.17em\right]=
1+\left[\kern-0.17em\left[{-x} \right]\kern-0.17em\right]\] como ejercicio para el lector, dejo que verifique que: \[\left[\kern-0.17em\left[x
\right]\kern-0.17em\right] + \left[\kern-0.17em\left[ { - x}
\right]\kern-0.17em\right] = - 1\;,\quad\forall x\in\mathbb{R}\] entonces, reemplazando estos resultados en \(f\) se tiene: \[ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}l}
f(x) &=& \left[\kern-0.17em\left[{x+3} \right]\kern-0.17em\right] &+& \left[\kern-0.17em\left[{1-x}\right]\kern-0.17em\right] \\
&=& \left(\left[\kern-0.17em\left[{x} \right]\kern-0.17em\right] + 3\right)&+& \left(1+\left[\kern-0.17em\left[{-x}\right]\kern-0.17em\right]\right) \\
&=&\left[\kern-0.17em\left[{x} \right]\kern-0.17em\right]&+& \left[\kern-0.17em\left[{-x}\right]\kern-0.17em\right]+4 \\
&=&-1&+&4\\
&=& &3&
\end{array} \] \(f\) tiene un valor constante e igual a 3 para toda \(x\) en \(\mathbb{R}\). Por tanto \[{\rm{ran}}(f)=\{3\}\]

2º) Calculando el \({\rm{ran}}(g)\)
Calculando los puntos críticos: \[ \begin{array}{rccl}
x + 3=0 & \wedge & 1 - x=0 \\
x =-3 & \wedge & x = 1 \\
\end{array} \] éstos puntos originan 3 intervalos en la recta real (casos 1º - 3º), en los que los términos \(\;\;\left| {1-x} \right|\;\;\) y \(\;\;\left| {x + 3} \right|\), que conforman \(g\), asumirán valores distintos: \[ \begin{array}{rccl}
            \rm{1º)} &   x < -3  & \rightarrow  & \left|{x + 3}\right|=-x-3 \quad  \rm{,} \\
                &                &              & \left|{x-1}\right|= -x+1 \\ 
            \rm{2º)} & -3\leq x <1  & \rightarrow  & \left|{x + 3}\right|=x+3 \quad \rm{,} \\
                     &                &            & \left|{x-1}\right|= -x+1 \\
            \rm{3º)} &    1 \leq x       & \rightarrow & \left|{x + 3}\right|=x+3 \quad \rm{,} \\
                     &                &             & \left|{x-1}\right|= x-1 \\
\end{array} \] nótese que: \(\left| {1 - x} \right|\) puede escribirse como \(\left| {x - 1} \right|\)
Restando los términos del lado derecho en cada caso se obtiene:

\[ \begin{array}{rccl}
            \rm{1º)} &   x<-3     & \rightarrow  & g(x)=(-x-3)-(-x+1)=-4 \\
            \rm{2º)} & -3\leq x <1  & \rightarrow  & g(x)=(x+3)-(-x+1)=2x+2 \\
            \rm{3º)} &    1 \leq x     & \rightarrow  & g(x)=(x+3)-(x-1)=4\\
\end{array} \] Es decir la función \(g\) es la función seccionada: \[g(x)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&,&{x < - 3} \\ {2x + 2}&,&{ - 3 \leq x <  1} \\ 4&,&{1 \leq x} \end{array}} \right.\] En la Segunda sección de esta función se observa que si \[ \begin{array}{rcl}
            & -3\leq x<1\\
\rightarrow & -6\leq 2x<2\\
\rightarrow & -4\leq 2x+2<4\\
\rightarrow & -4\leq g(x)<4\\
\rightarrow & g(x)\in\langle-4,4]
\end{array} \] En la primera sección se ve que \(g(x)=-4\) cuando \(x<-3\), luego \[g(x)\in[-4,4] \;,\quad \forall x\in\mathbb{R}\] es decir se ha deducido que el \[{\rm{ran}}(g)=[-4,4]\] Con el software maple, para graficar puede usarse la orden
> plot(abs(x+3)-abs(1-x)); 
(úsese solo para verificar, no para omitir el paso del desarrollo de l ejercicio)

Gráfica en maple de la función valor absoluto
compuesta \(g(x)=\left|{x+3}\right|-\left|{1-x}\right|\)

Finalmente, lo que nos solicitaba el ejercicio es: \[ \begin{array}{rcl}
{\rm{ran}}(f) \cap {\rm{ran}}(g) &=& [ - 4,4] \cap \{3\} \\
&=& \left\{ \,3 \right\} \\
\end{array} \]

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con Máximo Entero

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Bibliografía.

Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.

¿Cómo demuestro: √(│y-x│) ≥ │√y-√x│ ?

Dirigiéndonos a la teoría de los números reales, a petición de uno de mis lectores de Sincelejo Colombia, desmostraré la desigualdad: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|}  \geqslant \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\] para todo \(x,y \in \mathbb{R}_0^{+}\)

Enumeraré cada paso para dejar lugar a los comentarios, si es que hay algo que no se entienda, fácilmente se podrá ubicar la parte con el número de paso correspondiente.

Además la dividiré en 2 partes. En la primera, transformo la desigualdad en otra equivalente a través de una serie de pasos válidos en los teoremas de números reales. En la segunda efectuaré la demostración formal de la desigualdad equivalente.

Empezamos:

Obsérvese que la igualdad \(\sqrt {\left| {y - x} \right|}  = \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\)  solo se satisface para \(x = 0\,\,\,,\,\,\,\,y = 0\) así que solo se trabajará con la desigualdad estricta: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|}  > \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\quad\ldots(1)\] Parte I: 
1. Elevando al cuadrado \[\begin{gathered}
  {\sqrt {\left| {y - x} \right|} ^2} > {\left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|^2}\\
  \left| {y - x} \right| > {\left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|^2}\\
  \left| {y - x} \right| > {\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)^2}\\
\end{gathered} \] 2. Multiplicando por \({\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\) a cada lado de la desigualdad \[ \begin{array}{rcl}
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>&{\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)^2}{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} \\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>&{\left[ {\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)} \right]^2} \\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left( {{{\sqrt y }^2} - {{\sqrt x }^2}} \right)^2}\\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left( {y - x} \right)^2}\\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left| {y - x} \right|^2}\\
\end{array} \] 3. Cancelando el factor \(\left| {y - x} \right|\) \[{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} > \left| {y - x} \right|\] 4. Esta desigualdad la podemos escribir con el símbolo de menor que cambiando de lado sus miembros \[\left| {y - x} \right| < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\] 5. Recordemos la propiedad \(\left| x \right| < b \Leftrightarrow  - b < x < b\), en donde podemos considerar \(b = \scriptstyle{{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}}\), entonces: \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}.\] Parte II
1. Acabamos de transformar la desigualdad inicial (1) en: \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\] que es la intersección de \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x\quad\ldots(2)\] con \[y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\quad\ldots(3)\] 2. Para demostrar la desigualdad (2) tenemos: \[ \begin{array}{lcl}
- {\left({\sqrt y +\sqrt x } \right)^2} &=& - \left( {y + 2\sqrt {xy} + x} \right) \\
&<& - \left( {y + x} \right) \\
&=& - y - x \\
&<& - y + x\\
&=& - y + x\\
\end{array} \] 3. Uniendo los extremos se ve claramente que \[ - {\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)^2} < y - x\] Dejo como ejercicio al lector la demostración de la desigualdad (3).

Habiendo demostrado las desigualdades estrictas (2) y (3), y la igualdad con \(x = 0\; , \quad y = 0\) puede afirmarse que se cumple \[{\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)^2} > \left| {y - x} \right|\] \[\forall\; x,y \in {\mathbb{R}^+}\] entonces multiplicando esta última desigualdad por \(\left| {y - x} \right|\) y realizando el proceso visto en el paso 2 y paso 1 de la parte I de forma inversa, quedará demostrado que: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|} \geqslant \left| {\sqrt y - \sqrt x } \right|\] \[\forall\; x,y \in \mathbb{R}_0^{+}\] l.q.q.d.

Dos Demostraciones Directas en Inferencia Lógica (VIDEO)

Inferencias lógicas. 

Demostración directa o Prueba formal de validez

Dos ejercicios resueltos explicados paso a paso. La novedad del vídeo es que resuelvo los ejercicios sólo con 4 leyes de inferencia:

1. Modus Ponens
2. Modus Tollens
3. Tollendo Ponens y
4. Ley de la Doble Negación

Resalto la importancia de la doble negación, que no se incluyó en anteriores vídeos.