Números Reales - Ecuaciones Irracionales o ecuaciones con radicales (√a = b)

Esta vez observamos como resolver una ecuación sobre los números reales que contiene un término irracional (radical irreductible), esto implica el conocimiento de las inecuaciones y el de las ecuaciones cuadráticas, así como la formula del cuadrado de un trinomio en los productos notables. Más adelante colgaré las propiedades usadas en este problema.

Detalles del problema.
Institución: USAT. Chiclayo - Perú
Especialidad: Arquitectura.
Asignatura: Matemática para Ingenieros II
Tipo: Pregunta de Práctica calificada

Resolver la ecuación \[\boldsymbol{{x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=0}\]Solución.
\[{x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=0\] Para que exista \(\sqrt {x^2 + 6x}\) , la parte subradical tendrá que ser mayor o igual que cero \[0\leq {x}^{2}+6\,x\] factorizando y hallando puntos críticos:
\[0\leq x \left( x+6 \right)\] El conjunto universo de la ecuación es: \[U=\left\langle { - \infty ,-6} \right\rangle  \cup \left\langle {0,\infty } \right\rangle \] Despejando el término radical: \[2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=-{x}^{2}-6\,x+24\] Elevando al cuadrado, se cancela el radical en el lado izquierdo: \[4\,{x}^{2}+24\,x= \left( -{x}^{2}-6\,x+24 \right) ^{2}\] y se desarrolla el trinomio en el lado derecho: \[4\,{x}^{2}+24\,x={x}^{4}+12\,{x}^{3}-12\,{x}^{2}-288\,x+576\] Si pasamos el lado derecho al lado izquierdo y multiplicamos por -1 se tiene, ordenando el polinomio: \[{x}^{4}+12\,{x}^{3}-16\,{x}^{2}-312\,x+576=0\] Si factorizamos el polinomio del lado izquierdo por el método Paolo Ruffini, se tendrá:
\[\left( x-2 \right)  \left( x+8 \right)  \left( {x}^{2}+6\,x-36 \right) =0\] el lector puede comprobarlo en lápiz y papel que el polinomio se puede factorizar de ese modo por dicho método.

Igualando a cero cada factor vemos que: \[x = 8\,\quad \vee \,\quad\,x =  - 2\,\quad \vee \,\quad x =  - 3 + \sqrt 5 \,\quad \vee \,\quad x =  - 3 - \sqrt 5 \] pero el único valor de \(x\) que están el universo \(U=\left\langle { - \infty ,-6} \right\rangle  \cup \left\langle {0,\infty } \right\rangle \) es \[x = 8\] luego el conjunto solución es: \[CS = \left\{ {8} \right\}\]En maple puede comprobarse graficando la función del lado izquierdo de la ecuación. Las raíces de dicha ecuación señalarán la ubicación de los puntos de corte de f con el eje x , la instrucción es:
> a1:=x^2+6*x-24+2*sqrt(x^2+6*x):
> plot(a1,x=-14..10,y=-28..100, thickness=2,color=magenta);

Gráfica de las raíces de
\(y={x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}\)

Bibliografía:
Espinoza Ramos E, Matemática Básica. Editorial Serv. Graf. J.J. Lima - Perú. 2002.
Figueroa García R, Matemática Basica. Editorial América.  Lima - Perú. 1992.

Propiedades del Máximo entero o Mayor Entero [[x]]

Enumero aquí los teoremas más escenciales el operador máximo entero de un número real \(x\). El cual está definido por \[\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[x \right]\kern-0.17em\right] = n\qquad \leftrightarrow \qquad n = \text{máx} \left\{ {m \in {\Bbb Z}\;|\; m \leq x} \right\}}\]

Propiedades

1.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[{ x }\right]\kern-0.17em\right]\in\mathbb{Z}\,,\quad \forall x\in\mathbb{R}}\)

2.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[{ x }\right]\kern-0.17em\right]=x\quad \leftrightarrow \quad x\in\mathbb{Z}}\)

3.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] \le x < \left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] + 1\,,\quad\forall x \in \mathbb{R}}\)

5.   \(\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] = n \quad\leftrightarrow\quad n \leq x \leqslant n + 1\;,\quad n \in \mathbb{Z}}\)

6.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] \geq a \quad\leftrightarrow\quad x \geqslant a}\)

7.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] < a \quad\leftrightarrow\quad x < a}\)

8.   Si \(\boldsymbol{a \in \mathbb{Z}\;,\quad\left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] \leq a\quad \leftrightarrow\quad x < a + 1}\)

9.   Si \(\boldsymbol{m \in \mathbb{Z}\quad\to\quad\left[\kern-0.17em\left[ {x + m}
 \right]\kern-0.17em\right] = \left[\kern-0.17em\left[ x
 \right]\kern-0.17em\right] + m}\)

10.  \(\boldsymbol{\forall\;x,y\in\mathbb{R}},\)    Si  \(\boldsymbol{x\leq y\quad\to\quad\left[\kern-0.17em\left[ x \right]\kern-0.17em\right] \leq \left[\kern-0.17em\left[ y \right]\kern-0.17em\right]}\)

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con Máximo Entero

Todas las demás entradas relacionadas con máximo entero

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Bibliografía.
Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.

¿Cómo demuestro: √(│y-x│) ≥ │√y-√x│ ?

Dirigiéndonos a la teoría de los números reales, a petición de uno de mis lectores de Sincelejo Colombia, desmostraré la desigualdad: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|}  \geqslant \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\] para todo \(x,y \in \mathbb{R}_0^{+}\)

Enumeraré cada paso para dejar lugar a los comentarios, si es que hay algo que no se entienda, fácilmente se podrá ubicar la parte con el número de paso correspondiente.

Además la dividiré en 2 partes. En la primera, transformo la desigualdad en otra equivalente a través de una serie de pasos válidos en los teoremas de números reales. En la segunda efectuaré la demostración formal de la desigualdad equivalente.

Empezamos:

Obsérvese que la igualdad \(\sqrt {\left| {y - x} \right|}  = \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\)  solo se satisface para \(x = 0\,\,\,,\,\,\,\,y = 0\) así que solo se trabajará con la desigualdad estricta: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|}  > \left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|\quad\ldots(1)\] Parte I: 
1. Elevando al cuadrado \[\begin{gathered}
  {\sqrt {\left| {y - x} \right|} ^2} > {\left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|^2}\\
  \left| {y - x} \right| > {\left| {\sqrt y  - \sqrt x } \right|^2}\\
  \left| {y - x} \right| > {\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)^2}\\
\end{gathered} \] 2. Multiplicando por \({\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\) a cada lado de la desigualdad \[ \begin{array}{rcl}
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>&{\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)^2}{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} \\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>&{\left[ {\left( {\sqrt y  - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)} \right]^2} \\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left( {{{\sqrt y }^2} - {{\sqrt x }^2}} \right)^2}\\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left( {y - x} \right)^2}\\
  \left| {y - x} \right|{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} &>& {\left| {y - x} \right|^2}\\
\end{array} \] 3. Cancelando el factor \(\left| {y - x} \right|\) \[{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} > \left| {y - x} \right|\] 4. Esta desigualdad la podemos escribir con el símbolo de menor que cambiando de lado sus miembros \[\left| {y - x} \right| < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\] 5. Recordemos la propiedad \(\left| x \right| < b \Leftrightarrow  - b < x < b\), en donde podemos considerar \(b = \scriptstyle{{\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}}\), entonces: \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}.\] Parte II
1. Acabamos de transformar la desigualdad inicial (1) en: \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\] que es la intersección de \[ - {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2} < y - x\quad\ldots(2)\] con \[y - x < {\left( {\sqrt y  + \sqrt x } \right)^2}\quad\ldots(3)\] 2. Para demostrar la desigualdad (2) tenemos: \[ \begin{array}{lcl}
- {\left({\sqrt y +\sqrt x } \right)^2} &=& - \left( {y + 2\sqrt {xy} + x} \right) \\
&<& - \left( {y + x} \right) \\
&=& - y - x \\
&<& - y + x\\
&=& - y + x\\
\end{array} \] 3. Uniendo los extremos se ve claramente que \[ - {\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)^2} < y - x\] Dejo como ejercicio al lector la demostración de la desigualdad (3).

Habiendo demostrado las desigualdades estrictas (2) y (3), y la igualdad con \(x = 0\; , \quad y = 0\) puede afirmarse que se cumple \[{\left( {\sqrt y + \sqrt x } \right)^2} > \left| {y - x} \right|\] \[\forall\; x,y \in {\mathbb{R}^+}\] entonces multiplicando esta última desigualdad por \(\left| {y - x} \right|\) y realizando el proceso visto en el paso 2 y paso 1 de la parte I de forma inversa, quedará demostrado que: \[\sqrt {\left| {y - x} \right|} \geqslant \left| {\sqrt y - \sqrt x } \right|\] \[\forall\; x,y \in \mathbb{R}_0^{+}\] l.q.q.d.