El Mayor Entero o Máximo Entero de un número real

El mayor entero de un número real \(x\), denotado por \(\left[\kern-0.17em\left[x \right]\kern-0.17em\right]\), es un número entero \(n\) el cual es el máximo de todos los números enteros menores o iguales que \(x\), es decir:

\[\boldsymbol{\left[\kern-0.17em\left[x \right]\kern-0.17em\right] = n\qquad \leftrightarrow \qquad n = \text{máx} \left\{ {m \in {\Bbb Z}\;|\; m \leq x} \right\}}\]

Ejemplos

1. \(\left[\kern-0.17em\left[ {2.4}\right]\kern-0.17em\right] = 2\) , puesto que \[ \begin{eqnarray}
2 &=&\text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq 2.4} \right\} \\
&=&\text{máx}\left\{ {\ldots, - 1,\,\,0,\,\,1,\,\,2} \right\}
\end{eqnarray}
\] tal como se aprecia en el gráfico de arriba.

2. \(\left[\kern-0.17em\left[ {-2.4}\right]\kern-0.17em\right] = -3\) , puesto que \[ \begin{eqnarray}
-3 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq -2.4} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, -6,\,\,-5,\,\,-4,\,\,-3} \right\}
\end{eqnarray}
\]

3. \(\left[\kern-0.17em\left[ {5}\right]\kern-0.17em\right] = 5\) , puesto que \[ \begin{eqnarray}
5 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq 5} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, 2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right\}
\end{eqnarray}
\]

4. \(\left[\kern-0.17em\left[ {-4}\right]\kern-0.17em\right] = -4\) , puesto que \[ \begin{eqnarray}
-4 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq -4} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, -7,\,\,-6,\,\,-5,\,\,-4} \right\}
\end{eqnarray}
\]

5. \(\left[\kern-0.17em\left[ {\pi}\right]\kern-0.17em\right] = 3\) , puesto que \(\pi \approx 3.14\) \[ \begin{eqnarray}
3 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq 3.14} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, 0,\,\,1,\,\,2,\,\,3} \right\}
\end{eqnarray}
\]

6. \(\left[\kern-0.29em\left[{1-\sqrt{2}}\right]\kern-0.29em\right] = -1\)  ,  puesto que  \( \left(1-\sqrt{2}\right)\approx -0.41\)   \[ \begin{eqnarray}
-1 &=& \text{máx}\left\{ {m \in \mathbb{Z}\,\,\,\, | \,\,\,m \leq -0.41} \right\} \\
&=& \text{máx}\left\{ {\ldots, -4,\,\,-3,\,\,-2,\,\,-1} \right\}
\end{eqnarray}
\]

Pulse aquí para ver las

>> Propiedades y ejercicios resueltos <<
de Máximo Entero

Bibliografía.
Figueroa G, Ricardo. Matemática Básica. Editorial América S.R.L., Lima-Perú, 1995.