Ecuaciones cuadráticas de 2 variables - Graficando un Hiperbolide

Ahora enfocamos nuestra atención al cálculo multivariable. El criterio para graficar ecuaciones cuadráticas es esencial para el cálculo de integrales dobles y triples a la hora de determinar los dominios de integración y el integrando. Damos aquí una de las superficies obtenidas por una ecuación cuadrática. El Hiperboloide de dos hojas.

Datos del ejercicio
Area: Cálculo
Especialidad: Ingeniería Civil
Asignatura: Matemática para Ingenieros II
Tipo: Practica Calificada
Institución: USAT - Chiclayo Perú

Graficar la superficie: \({x}^{2}-{y}^{2}+3\,{z}^{2}-2\,y=0\), indicando sus
secciones transversales solo para dos valores de \(k\) en cada plano coordenado, y la intersección con los ejes coordenados.

Solución.
\[{x}^{2}-{y}^{2}+3\,{z}^{2}-2\,y=0\] Agrupando la variable \(y\) y completando sus cuadrados:
\[{x}^{2}- \left( y+1 \right) ^{2}+3\,{z}^{2}+1=0\] entonces, despejando la unidad: \[-{x}^{2}+\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=1\] esto puede expresarse: \[ - {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} {z^2}}}{{\frac{1}{3}}} = 1\] \[ - {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} z^2}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)}^2}}} = 1\quad\ldots\,(1)\]Esta ecuación tiene corresponde a la gráfica de un hiperboloide de dos hojas (por tener 2 términos negativos) que se extiende a lo largo del eje de la variable corrspondiente a \((y+1)^2\), por ser éste un término positivo, luego el hiperboloide se extiende a lo largo de y. Además como ésta ecuación puede escribirse:
\[ - {(x - 0)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - \frac{{{\mkern 1mu} {{(z - 0)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)}^2}}} = 1\] entonces el centro del hiperboloide es \((0,-1,0)\)
Entonces, el gráfico solicitado es:

Gráfica del hiperboloide
\(\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\)

Graficando ahora las secciones transversales

1) Plano \(xy\):
valor: \(k=0\) \(\to\) \(z=0\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}=1\] hipérbola en el plano \(xy\)

valor: \(k=-1\) \(\to\) \(z=-1\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3=1\] \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}=4\] hipérbola en el plano \(xy\)

Graficando:

Sección transversal del
hiperboloide de dos hojas
para \(x=0\,,\,x=-1.\)
en el plano \(xy\)

2) Plano \(xz\):
valor: \(k=0\) \(\to\) \(y=0\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[1-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\]
\[{x}^{2}+3\,{z}^{2}=0\] elipse degradada al punto \((0,0)\), en el plano \(xz\)

valor: \(k=-3\) \(\to\) \(y=-3\), \[4-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[{x}^{2}+3\,{z}^{2}=3\] elipse en el plano \(xy\)

valor: \(k=-4\) \(\to\) \(y=-4\), \[9-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[{x}^{2}+3\,{z}^{2}=8\] elipse en el plano \(xz\). Vemos que el hiperboloide de dos hojas es elíptico.

Sección transversal del
hiperboloide elíptico de dos hojas
para \(y=0\,,\,y=-3\,,\,y=-4.\)
en el plano \(xz\)

3) Plano \(yz\):
valor: \(k=0\) \(\to\) \(x=0\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\] \[\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=1\] hipérbola en el plano \(yz\)

valor: \(k=1\) \(\to\) \(x=1\), \[\left( y+1 \right) ^{2}-1-3\,{z}^{2}=1\] \[\left( y+1 \right) ^{2}-3\,{z}^{2}=2\]  hipérbola en el plano \(yz.\)

Sección transversal del
hiperboloide elíptico para \(x=0\,,\,x=1.\)
en el plano \(yz\)

Comprobación
En una hoja de cálculo Maple podemos escribir la orden
> with(plots):
> implicitplot3d((y+1)^2-x^2-3*z^2 = 1,x=-7..7,y=-6..6,z=-5..5, numpoints=10000);
y así coprobar la validés del resultado obtenido

Graficando el hiperboloide de 2 hojas
\(\left( y+1 \right) ^{2}-{x}^{2}-3\,{z}^{2}=1\)
en maple con el comando implicitplo3d
de la librería plots

Bibliografía
1. Stewart, James. 2008. Calculus Early Trascendentals. 6th ed. Belmont, CA. USA : Thomson Learning Inc, 2008. pág. 808 de 1336 pp. ISBN 0-495-01166-5.