Por definición de función signo: \[\operatorname{sgn} \left( {|{x^2}-1| -1} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&,&{\left| {{x^2} -1}\right| -1 >0\,\,\,...\,\,\,(1)} \\
0&,&{\left| {{x^2} -1}\right| -1 = \,0\,\,\,...\,\,(2)} \\
{ -1}&,&{\left| {{x^2} - 1}\right| -1<0\,\,\,...\,\,(3)}
\end{array}} \right.\] Analizando las tres condiciones:
En la condición (1) se tiene: \[\begin{gathered}
\left|{{x^2} - 1} \right| > 1 \\
{x^2}-1 > 1 \quad \vee\quad {x^2} -1< -1 \\
{x^2} > 2 \quad \vee\quad {x^2} < 0\\
{x^2} - 2 > 0 \\
(x + \sqrt 2 )(x - \sqrt 2 ) > 0\\
\end{gathered} \] por el método de puntos críticos
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| Se elige los intervalos (+) porque la inecuación dice: \(>0\) |
así la condición (1) es: \[x\in\left\langle { - \infty , - \sqrt 2 } \right\rangle \cup \left\langle {\sqrt 2 ,\infty } \right\rangle\] En la condición (2) se tiene: \[\begin{gathered}
\left| {{x^2} - 1} \right| = \,1 \\
{x^2} - 1 = \,1\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,{x^2} - 1 = \, - 1 \\
{x^2} = \,2\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \,0 \\
x = \pm \,\sqrt{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \,0 \\
\end{gathered} \]
así la condición (2) es: \[x \in \left\{ { - \sqrt 2 \;,\;0\;,\;\sqrt 2 } \right\}\]
En la condición (3) se tiene: \[\begin{gathered}
\left| {{x^2} - 1} \right| < 1 \\
- 1 < {x^2} - 1 < 1 \\
0 < {x^2} < 2 \\
0 < {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} < 2 \\
\left[ {x < 0 \vee x > 0} \right]\quad \wedge \quad \left[ {{x^2} - 2 < 0} \right]\\ \left[ {x < 0 \vee x > 0} \right] \wedge \left[ {\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right) < 0} \right] \\
\end{gathered} \]
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Se elige el intervalo (-) porque la inecuación tiene: \(<0\)
luego se intersecta con \(x<0\) y \(x>0\) |
entonces la condición (3) es: \[x \in \left\langle { - \sqrt 2 {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} ,\,\,0{\kern 1pt} } \right\rangle \cup \left\langle {0\,\,,\sqrt 2 } \right\rangle \] Ahora de lo hallado de (1), (2) y (3) la función \(f(x)\) está dada por: \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&,&{x \in \left\langle { - \infty , - \sqrt 2 } \right\rangle \cup \left\langle {\sqrt 2 ,\infty } \right\rangle } \\
0&,&{x \in \left\{ { - \sqrt 2 \,\,,0\,,\sqrt 2 } \right\}} \\
{ - 1}&,&{x \in \left\langle { - \sqrt 2 ,0} \right\rangle \cup \left\langle {0,\sqrt 2 } \right\rangle }
\end{array}} \right.\] Finalmente con los intervalos hallados en las 3 condiciones se construye el gráfico de \(f(x)\)
