Esta vez observamos como resolver una ecuación sobre los números reales que contiene un término irracional (radical irreductible), esto implica el conocimiento de las inecuaciones y el de las ecuaciones cuadráticas, así como la formula del cuadrado de un trinomio en los productos notables. Más adelante colgaré las propiedades usadas en este problema.
Detalles del problema.
Institución: USAT. Chiclayo - Perú
Especialidad: Arquitectura.
Asignatura: Matemática para Ingenieros II
Tipo: Pregunta de Práctica calificada
Resolver la ecuación \boldsymbol{{x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=0}Solución.
{x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=0 Para que exista
\sqrt {x^2 + 6x} , la parte subradical tendrá que ser mayor o igual que cero
0\leq {x}^{2}+6\,x factorizando y hallando puntos críticos:
0\leq x \left( x+6 \right) El conjunto universo de la ecuación es:
U=\left\langle { - \infty ,-6} \right\rangle \cup \left\langle {0,\infty } \right\rangle Despejando el término radical:
2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x}=-{x}^{2}-6\,x+24 Elevando al cuadrado, se cancela el radical en el lado izquierdo:
4\,{x}^{2}+24\,x= \left( -{x}^{2}-6\,x+24 \right) ^{2} y se desarrolla el trinomio en el lado derecho:
4\,{x}^{2}+24\,x={x}^{4}+12\,{x}^{3}-12\,{x}^{2}-288\,x+576 Si pasamos el lado derecho al lado izquierdo y multiplicamos por -1 se tiene, ordenando el polinomio:
{x}^{4}+12\,{x}^{3}-16\,{x}^{2}-312\,x+576=0 Si factorizamos el polinomio del lado izquierdo por el método Paolo Ruffini, se tendrá:
\left( x-2 \right) \left( x+8 \right) \left( {x}^{2}+6\,x-36 \right) =0 el lector puede comprobarlo en lápiz y papel que el polinomio se puede factorizar de ese modo por dicho método.
Igualando a cero cada factor vemos que:
x = 8\,\quad \vee \,\quad\,x = - 2\,\quad \vee \,\quad x = - 3 + \sqrt 5 \,\quad \vee \,\quad x = - 3 - \sqrt 5 pero el único valor de
x que están el universo
U=\left\langle { - \infty ,-6} \right\rangle \cup \left\langle {0,\infty } \right\rangle es
x = 8 luego el conjunto solución es:
CS = \left\{ {8} \right\}En maple puede comprobarse graficando la función del lado izquierdo de la ecuación. Las raíces de dicha ecuación señalarán la ubicación de los puntos de corte de
f con el eje
x , la instrucción es:
> a1:=x^2+6*x-24+2*sqrt(x^2+6*x):
> plot(a1,x=-14..10,y=-28..100, thickness=2,color=magenta);
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Gráfica de las raíces de
y={x}^{2}+6\,x-24+2\,\sqrt {{x}^{2}+6\,x} |
Bibliografía:
Espinoza Ramos E,
Matemática Básica. Editorial
Serv. Graf. J.J. Lima - Perú. 2002.
Figueroa García R,
Matemática Basica. Editorial
América. Lima - Perú. 1992.